Курсовая работа по теот.вер. и МС (19 вариант) / 19 Вар/Hermes_19.doc

Пусть , - выборка объема из наблюдений случайного двумерного вектора. Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно получить, изображая элементы выборки точками на плоскости с выбранной декартовой системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания.

Распределением двумерной выборки называется распределение двумерного дискретного случайного вектора, принимающего значения , с вероятностями, равными . Выборочные числовые характеристики вычисляются как соответствующие числовые характеристики двумерного случайного вектора дискретного типа.

Выборочная линейная регрессия на по выборке , определяется уравнением

Выборочные средние находятся по формулам

.

Вычислим суммы квадратов отклонений от среднего и произведений отклонений от средних:

Отсюда

Коэффициенты и называются выборочными коэффициентами регрессии. Они вычисляются по формулам

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия на :

коэффициенты и которой находятся по формулам

Для контроля правильности расчетов используют соотношение

Прямые регрессии пересекутся в точке .

В регрессионном анализе изучается связь между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. Пусть переменная зависит от одной переменной . При этом предполагается, что переменная принимает фиксированные значения, а зависимая переменная имеет случайный разброс из-за ошибок измерения, влияния неучтенных факторов и т.д. Каждому значению переменной соответствует некоторое вероятностное распределение случайной величины . Предположим, что случайная величина в среднем линейно зависит от значений переменной . Это означает, что условное математическое ожидание случайной величины при заданном значении переменной имеет вид

Функция переменной, определяемая правой частью формулы, называется линейной регрессией на , а параметры и - параметрами линейной регрессии. На практике параметры линейной регрессии неизвестны и их оценки определяют по результатам наблюдений переменных и .

Пусть проведено независимых наблюдений случайной величины при значениях переменной при этом измерения величины дали следующие результаты: Так как эти значения имеют «разброс» относительно регрессии, то связь между переменными и можно записать в виде линейной регрессионной модели:

где - случайная ошибка наблюдений, причем Значение дисперсии ошибок наблюдений неизвестно, и оценка ее определяется по результатам наблюдений.

Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по результатам наблюдений ,

Разности между наблюдаемыми значениями переменной при ,и расчетными значениями называются остатками и обозначаются :

Качество аппроксимации результатов наблюдений , выборочной регрессии определяется величиной остаточной дисперсии, вычисляемой по формуле:

Величина , определяемая выражением

называется остаточной суммой квадратов.

В практических вычислениях остаточную сумму квадратов получают из тождества

которое записывается в виде

,

где

Величина называется суммой квадратов, обусловленной регрессией.

Полезной характеристикой линейной регрессии является коэффициент детерминации , вычисляемый по формуле

Коэффициент детерминации равен той доле разброса результатов наблюдений , относительно горизонтальной прямой , которая объясняется выборочной регрессией.

В случае линейной регрессии на между коэффициентом и выборочным коэффициентом корреляции имеется следующее соотношение:

.

Пусть результаты наблюдений составляют независимых выборок, полученных нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют различные средние и равные дисперсии . Проверяется гипотеза о равенстве средних На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерений. В данном случае нас интересует вопрос, имеют ли различные приборы одну и ту же систематическую ошибку.

Пусть обозначает -й элемент -й выборки, -выборочное среднее -й выборки, т.е.

;

- общее выборочное среднее, т.е.

где -общее число наблюдений,

Общая сумма квадратов отклонений от общего среднего может быть представлена так:

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде

где -общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего, - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего , - сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних.

Данное тождество легко проверяется, если учесть, что

и

в силу определения и

Если верна гипотеза : , то статистики и независимы и имеют распределение с и степенями свободы. Следовательно, статистики и являются несмещенными оценками дисперсии . Значительное превышение величины над значением величины можно объяснить различием средних в группах. Отношение этих оценок имеет распределение Фишера с и степенями свободы, т.е.

Эта статистика используется для проверки гипотезы : . Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение статистики меньше квантили . В этом случае и являются несмещенными оценками параметров и . Если то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди средних имеется хотя бы два не равных друг другу.

X

Y

ΔX²

ΔY²

X²

Y²

XY

(X+Y)²

e_i

Q_e

10,63

10,96

0,4050

0,7811

112,9969

120,1216

116,5048

466,1281

0,3872

0,1499

10,03

10,90

0,0013

0,6786

100,6009

118,8100

109,3270

438,0649

0,7954

0,6327

10,77

12,76

0,6028

7,2028

115,9929

162,8176

137,4252

553,6609

2,0779

4,3178

9,38

8,60

0,3765

2,1792

87,9844

73,9600

80,6680

323,2804

-0,9974

0,9948

9,66

10,23

0,1113

0,0237

93,3156

104,6529

98,8218

395,6121

0,4141

0,1715

9,00

10,04

0,9872

0,0013

81,0000

100,8016

90,3600

362,5216

0,7392

0,5464

10,76

10,29

0,5874

0,0457

115,7776

105,8841

110,7204

443,1025

-0,3843

0,1477

10,56

10,65

0,3208

0,3292

111,5136

113,4225

112,4640

449,8641

0,1318

0,0174

9,51

7,49

0,2339

6,6884

90,4401

56,1001

71,2299

289,0000

-2,2088

4,8789

9,54

9,83

0,2058

0,0606

91,0116

96,6289

93,7782

375,1969

0,1078

0,0116

10,44

9,67

0,1993

0,1650

108,9936

93,5089

100,9548

404,4121

-0,7546

0,5693

9,65

9,26

0,1181

0,6662

93,1225

85,7476

89,3590

357,5881

-0,5481

0,3004

8,31

8,35

2,8345

2,9798

69,0561

69,7225

69,3885

277,5556

-0,4124

0,1701

9,28

8,46

0,5092

2,6121

86,1184

71,5716

78,5088

314,7076

-1,0593

1,1222

9,68

9,03

0,0983

1,0945

93,7024

81,5409

87,4104

350,0641

-0,8015

0,6424

9,66

9,73

0,1113

0,1199

93,3156

94,6729

93,9918

375,9721

-0,0859

0,0074

9,52

8,37

0,2243

2,9111

90,6304

70,0569

79,6824

320,0521

-1,3366

1,7866

11,23

10,25

1,5287

0,0302

126,1129

105,0625

115,1075

461,3904

-0,7910

0,6257

11,04

10,04

1,0950

0,0013

121,8816

100,8016

110,8416

444,3664

-0,8528

0,7272

10,04

9,41

0,0022

0,4438

100,8016

88,5481

94,4764

378,3025

-0,7024

0,4934

10,33

10,68

0,1132

0,3646

106,7089

114,0624

110,3244

441,4201

0,3413

0,1165

10,33

10,78

0,1132

0,4953

106,7089

116,2084

111,3574

445,6321

0,4413

0,1947

9,01

9,43

0,9675

0,4176

81,1801

88,9249

84,9643

340,0336

0,1214

0,0147

9,29

9,91

0,4951

0,0276

86,3041

98,2081

92,0639

368,6400

0,3829

0,1466

10,60

9,59

0,3677

0,2364

112,3600

91,9681

101,6540

407,6361

-0,9594

0,9205

10,49

10,17

0,2464

0,0088

110,0401

103,4289

106,6833

426,8356

-0,2936

0,0862

9,75

11,06

0,0593

0,9679

95,0625

122,3236

107,8350

433,0561

1,1739

1,3780

9,54

8,32

0,2058

3,0842

91,0116

69,2224

79,3728

318,9796

-1,4022

1,9663

10,21

9,90

0,0468

0,0310

104,2441

98,0100

101,0790

404,4121

-0,3451

0,1191

11,14

11,51

1,3142

2,0558

124,0996

132,4801

128,2214

513,0225

0,5392

0,2907

10,45

9,52

0,2083

0,3094

109,2025

90,6304

99,4840

398,8009

-0,9124

0,8324

10,22

9,64

0,0513

0,1903

104,4484

92,9296

98,5208

394,4196

-0,6129

0,3756

10,84

11,78

0,7164

2,9029

117,5056

138,7684

127,6952

511,6644

1,0433

1,0885

10,60

11,61

0,3677

2,3525

112,3600

134,7921

123,0660

493,2841

1,0606

1,1249

9,17

8,49

0,6783

2,5160

84,0889

72,0801

77,8533

311,8756

-0,9435

0,8902

9,85

10,70

0,0206

0,3891

97,0225

114,4900

105,3950

422,3025

0,7359

0,5415

8,75

10,20

1,5465

0,0153

76,5625

104,0400

89,2500

359,1025

1,0942

1,1974

10,70

9,90

0,4990

0,0310

114,4900

98,0100

105,9300

424,3600

-0,7274

0,5292

9,39

11,15

0,3643

1,1530

88,1721

124,3225

104,6985

421,8916

1,5448

2,3865

8,75

10,36

1,5465

0,0805

76,5625

107,3296

90,6500

365,1921

1,2542

1,5731

9,22

9,44

0,5985

0,4048

85,0084

89,1136

87,0368

348,1956

-0,0325

0,0011

9,36

10,83

0,4014

0,5682

87,6096

117,2889

101,3688

407,6361

1,2482

1,5581

10,98

11,61

0,9730

2,3525

120,5604

134,7921

127,4778

510,3081

0,7641

0,5838

9,94

9,14

0,0029

0,8765

98,8036

83,5396

90,8516

364,0464

-0,8944

0,7999

12,12

11,42

4,5216

1,8058

146,8944

130,4164

138,4104

554,1316

-0,3155

0,0996

11,60

12,19

2,5805

4,4682

134,5600

148,5961

141,4040

565,9641

0,8602

0,7400

10,22

10,20

0,0513

0,0153

104,4484

104,0400

104,2440

416,9764

-0,0529

0,0028

10,16

10,40

0,0277