Лекции по теор.вер. и МС / OLD/Билеты.doc

1 Вводные понятия

Теория вероятностей изучает случайные явления окружающего мира

не посредственно, а с помощью идеализированных математических моделей случайных экспериментов.

Всякий случайный эксперимент (испытание, опыт) состоит в осуществлении некоторого вполне определенного комплекса условий S и наблюдений результата. Примеры опытов:

Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайный ход

(случайное событие). При этом наблюдаемым результатом понимается всякий результат опыта, который может быть зарегистрирован с помощью того или иного прибора. Событие может произойти, а может и не произойти в результате эксперимента.

Определение. Исход опыта ≡ наблюдаемый результат, т.е. такой результат, может быть зафиксирован с помощью того или иного прибора.

Пример. Эксперимент: извлечение наудачу детали для контроля из большой партии деталей. Наблюдаемый результат - наличие брака того или иного сорта

Каждому эксперименту (Э) ставится в соответствие множество элементарных исходов (Ω) Э→Ω. Под этим понимают множество взаимоисключающих исходов, таких, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.

Определение. Любое подмножество множества элементарных исходов Ω называется случайным событием (может оказаться и ненаблюдаемым)

Определение. Поле событий — совокупность (система) наблюдаемых событий≡система подмножеств из множества элементарных исходов наблюдаемых событий.

Определение. Событие, совпадающее с пустым множеством ∅ , называется независимым событием, а события, совпадающие со всем множеством Ω - достоверным событием.

Определение. Говорят, что событие А произошло (наступило, реализовалось), если результатом эксперимента явился какой-либо из элементарных исходов из множества А.

События подразделяются на совместные и несовместные

Определение. Любые два события, которые могут (не могут) одновременно являться результатом эксперимента, называются совместными (несовместными).

Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:

Любые 2 события, имеющие общие элементы, являются совместными.

Понятия, связанные с пунктами 2 и 3, будут определены в § ___. Конструирование множества Ω , если оно не задано при описании эксперимента, осуществляется неоднозначно и зависит от набора интересующих нас наблюдаемых событий. Для уяснения основных понятий следует примеры 1.3 на странице ____ в [ ] и решить ряд задач, например, 1.2, 1.2, 1.5, 1.6 и 1.8.

2 Алгебра событий

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями могут осуществляться все операции, выполнимые над множествами. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:

Свойства операций сложения и умножения:

1) Коммутативность 2) Ассоциативность

А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С)

АВ=ВА (АВ)С=А(ВС)

3) Дистрибутивность

а) умножения относительно сложения (А+В)С=АС+ВС

б) сложения относительно умножения АВ+С=(А+С)(В+С)

Для событий операции сложения и умножения имеют одинаковый ранг.

Утверждение. Разность событий не является ассоциативной. Поясним это примером.

Пример 1. Пусть А, В - наблюдаемые события (А,В ∈ Ω ). Тогда (А-В)+В ≠ А.

Поясним пример диаграммой Венна. На диаграмме изображены события A и В "в общей позиции". Легко видеть, что

Пример 2. Пусть событие А влечет за собой событие В, тогда (А-В)+В=В

На диаграмме Венна изображены события А и В в указанном отношении.

Пример 3: Пусть событие B влечет за собой событие A, тогда (А-В)+В=А

Отметим еще некоторые простейшие следствия из введенных операций.

Следствие 1. Пусть А={w₁, w₂ ,…w_m) ⊂ Ω , тогда А= w₁+ w₂+…+w_m (любое событие есть сумма составляющих его элементарных исходов).

Следствие 2. Пусть А,В ∈ Ω и АВ=∅ ⇒ A и В - несовместны.

Следствие 3. А+ = Ω (из определения противоположного события). Однако, если например, А+В=Ω , то отсюда не следует, что В=

Следствие 4. Простейшие законы поглощения: А+А=А, АА=А, А∅=∅, А+∅=А, А Ω =А, А+Ω =Ω ,

Следствие 5. Более общие законы поглощения А ⊂ В => АВ=А, А+В=В (1)

Справедливо и обратное: из любого равенства в (1) немедленно следует, что А ⊂ В

Следствие 6. Правила де Моргана

а) = (отрицание суммы есть произведение отрицаний);

б) = + (отрицание произведения есть сумма отрицаний: хотя бы одно из событий не происходит);

Это правило можно распространить и на большее число событий, например:

===

Следствие 7. Всякое событие рассматривается в двух аспектах: в логическом и алгебраическом. При этом сначала событие формулируется логически, затем вводится алгебра, далее применяются правила вероятности.

Пример 4. Опыты до первого успеха. Производятся последовательные выстрелы по мишени до первого попадания. Событие А={придется производить третий выстрел}. Сконструировать в алгебре событий множества Ω и А.

Обозначим С_к={попадание при k-м выстреле}

Ω ={C₁, }

А={}

= (дополнение А до всего Ω )

=

=⇒

5 Аксиомы теории вероятностей и следствия из них

Вероятность строится как определенная числовая мера над множествами - событиями.

Определение. Система F подмножеств из Ω, удовлетворяющая условиям:

называется алгеброй. Если условие 2 выполняется для счетного числа событий, то такая система называется σ - алгеброй.

Определение. Наблюдаемым событием называется такое подмножество из Ω , которое одновременно является элементом из F. Поле событий является алгеброй.

Определение. Вероятностью события A называется числовая функция P(A), определенная на алгебре событий F и такая, что выполняется следующие 3 аксиомы:

Аксиома 1. P(A) 0.
Аксиома 2. P(Ω)=1

Аксиома 3. Для любых A₁, A₂, A₃,….. A_n , таких что A_iA_j=0, i≠j (попарно несовместных) выполняется: P(A₁+A₂+…..+A_n)=P(A₁)+P(_P(_n).

Замечание: если аксиома 3 выполняется для счетного числа событий, то она называется аксиомой

σ - аддитивности.

Определение. Тройку {Ω, F, P} называют вероятностным пространством для данного случайного эксперимента.

Построение вероятностного пространства равносильно математической формализации эксперимента. наиболее ее трудной частью является задание вероятностного распределения на поле событий (Р). Аксиомы вероятности определяют лишь свойства числовой функции Р(А) и ничего не говорят о том, какие именно значения вероятности следует ………… тем или иным исходом эксперимента. Моделирование случайного эксперимента - задача, выходящая за рамки теории вероятностей. Обычно ее решают методом математической статистики.

Однако во многих случаях вероятностное пространство может быть построено на основе проведения аналогии между описываемым экспериментом и какой-либо хорошо изученной моделью случайного эксперимента с известным распределением вероятности. Подобным образом, например, строится вероятностное пространство для так называемой классической схемы, которая подробно рассматривается далее.

Из аксиом вероятности вытекает ряд следствий.

3) Если A⊂ B ⇒ P(A) P(B)

Представим В более широким событием: В=ВΩ=В(А+)=ВА+В. Но так как АВ=А (по закону поглощения), то В=А+В - сумма двух несовместимых событий, то по аксиоме 3 ⇒

P(B)=P(A)+

4) P(A) 1 Действительно, А ⊂ Ω ⇒ (из следствия 3) результат.

5) Формула сложения вероятностей. Для ∀ А,В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (2)

A+B=(A+B)Ω=(А+В)(А+)=A+A+AB+B=A+AB+B=A+B⇒P(A+B)=P(A)+P(B) (3)

По формуле (1): B=AB+B ⇒ (по аксиоме 3) P(B)=P(AB)+P(B).

Подставим в формулу (3): Р(В)=P(B)-P(AB) ⇒ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

В частном случае, когда А,В - несовместны => P(AB)=0 => аксиома аддитивности.

6) Формула сложения для 3-х событий.

P(A+B+C)=P((A+B)+C)=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-(P(AC)+P(BC)-P(ABC))=

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) (4)

7) Для ∀ А₁, А₂,….,А_n :

= (5)

Задача (о рассеянной секретарше): Дано n писем и n конвертов. Cекретарша все перепутала и отослала наудачу. Какова вероятность, что хотя бы один из адресатов получит свое письмо? См. задачу №14.221 в []

8) Формула классической вероятности (схема урн)

Пусть выполнены два условия:

Тогда справедлива формула классической вероятности:

, где - число элементов А, - число элементов Ω.

В силу конечности Ω , алгебра F - система всех подмножеств из Ω - является алгеброй ⇒ любое подмножество из Ω - наблюдаемое событие. Тогда А ={ω_k1, ω_k2,…, ω_km}, /А/=m

Т.к. Ω =ω₁+ω₂+…+ω_n ⇒ (по аксиомам 2,3) ⇒ 1=Р(ω₁)+Р(ω₂)+Р(ω_n)=р⋅n, где p=p(ω_k), k=1,2,..,n ⇒ p=1/n ⇒P(A)==

Пример 1. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаем одну карту. Найти вероятность события С=*появится картинка или карта красной масти*.

Логика => Алгебра => правила исчисления вероятности сложных событий. Ключевым является слово “наудачу”, что оправдывает применение схемы классической вероятности => C=A+B, где А=*появится картинка*, В=*появится карта красной масти*.

По Ф.С.В.(2) ⇒ P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=.

3 Формула классической вероятности (схема урн)

Пусть выполнены два условия:

Тогда справедлива формула классической вероятности:

, где - число элементов А, - число элементов Ω.

В силу конечности Ω , алгебра F - система всех подмножеств из Ω - является алгеброй ⇒ любое подмножество из Ω - наблюдаемое событие. Тогда А ={ω_k1, ω_k2,…, ω_km}, /А/=m

Т.к. Ω =ω₁+ω₂+…+ω_n ⇒ (по аксиомам 2,3) ⇒ 1=Р(ω₁)+Р(ω₂)+Р(ω_n)=р⋅n, где p=p(ω_k), k=1,2,..,n ⇒ p=1/n ⇒P(A)==

Пример 1. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаем одну карту. Найти вероятность события С=*появится картинка или карта красной масти*.

Логика => Алгебра => правила исчисления вероятности сложных событий. Ключевым является слово “наудачу”, что оправдывает применение схемы классической вероятности => C=A+B, где А=*появится картинка*, В=*появится карта красной масти*.

По Ф.С.В.(2) ⇒ P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=.

4 Схема геометрической вероятности.

Распространим классическую схему на случай, когда Ω - непрерывно (континуум). Пусть Э. (эксперимент) удовлетворяет следующим условиям:

Заметим, что квадрируемость понимается как площадь в смысле меры Лебега, а не меры Римана.

Обобщение Ф.Г.В. на случай евклидова пространства Rⁿ: (7)

Пример 2. Задача о встрече (на семинаре). См задачу 14.148, 14.149 в [ ]