Лекции по теор.вер. / Лекции в Word (2003)/Лекция 01.doc

Глава I. Вероятностное пространство

Лекция № 1

§ 1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

Разница между закономерными и случайными событиями.

Закономерное событие - это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определённые условия.

Закономерное явление - это система закономерных событий.

Случайные события - это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда нет.

Однако случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными закономерностями, при этом надо условится, что мы будем иметь дело не со всякими случайными событиями, а с массовыми, то есть будем предполагать, что в принципе можно создать много раз одни и те же условия, при каждом из которых могут произойти или нет некоторые случайные события.

Пусть при осуществлении некоторых условий (N раз), случайное событие A, будет осуществляться N(А) раз.

Число N(А) - называется частотой событий A, а отношение - относительной частотой события А.

Если N велико, относительная частота для случайных массовых событий обладает свойством устойчивости.

Пример.

- серия испытаний.

- относительная частота испытаний.

≈ ≈ … ≈

Относительная частота колеблется около определенного числа, которое характеризует данное случайное событие.

Р(А) - вероятность события А.

Примеры.

Р(А) = - вероятность выпадения герба.

Р(А) = 0,51; 0,51 - вероятность рождения мальчиков.

§ 2. События

Достоверное событие - событие, которое всегда происходит ().

Невозможное событие - событие, которое не происходит никогда (∅).

Событие - событие противоположное событию A.

происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Суммой событий A и B называется событие A+B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или A, или B, или оба вместе.

Произведением событий A и B называется событие A⋅B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят A и B вместе.

Разностью событий A и B называется событие A-B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.

События A и B несовместны, если A⋅B=∅.

Событие A влечет за собой событие B, если из наступления события A следует наступление события B (A ⊆ B).

События A и B называются равносильными A=B, если выполняются одновременно два включения

и .

Пример.

Бросается игральная кость.

A = {выпадает четное число очков}

B = {выпало число очков, не большее трех}

Решение.

Выпало число очков отличное от 5 (A+B).

Выпала 2 (A⋅B).

Выпало число очков равное 4 или 6 (A-B).

Выпадает нечетное число очков (Ā).

Диаграммы Эйлера

В теории вероятностей очень распространенным является подход, в котором событие определяется через неопределяемые понятия элементарного события.

Наиболее употребительная теоретико-вероятностная модель - урновая модель.

Пусть имеется урна с N одинаковыми шарами. Испытание состоит в том, что из урны случайно выбирается один шар.

ω_n - множество шаров в урне.

Если мы из урны выбираем шар ω_i ∈ A, где A - некоторое подмножество Ω, то мы будем говорить, что произошло событие A.

Если ω_i ∉ A, где A - некоторое подмножество Ω, то мы будем говорить, что событие A не произошло.

Ω = {ω}

Ω - пространство элементарных событий.

ω - элементарные события.

Замечания.

Операции суммы и произведения событий можно распространить на конечные и бесконечные множества событий.

,

,

В общем случае бесконечного пространства Ω, мы будем брать не все подмножества Ω в отличие от конечного, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и σ- алгебрами этих подмножеств.

Назовем класс A подмножеств пространств Ω алгеброй множеств, если

1) ∅ ∈ A , Ω ∈ A.

2) из A ∈ A ⇒ Ā ∈ A.

3) из A,B ∈ A ⇒ A+B ∈ A, A⋅B ∈ A.

Алгебра событий A называется σ-алгеброй или борелевской алгеброй, если из того, что A, n = 1,2,3,…, следует

A, A

§ 3. Вероятностное пространство

Тройка (Ω, A, P), где

Ω - это пространство элементарных событий;

A - σ-алгебра подмножеств Ω, называемых событиями;

P - числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью.

P называется вероятностным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

A1. P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A.

A2. P(Ω) = 1 (нормированность P).

A3. P(A+B)=P(A) + P(B), если A⋅B=∅ (аддитивность).

A4. Для любой убывающей последовательности

событий из A такой, что

,

имеет место равенство (непрерывность P).

Замечания.

Аксиомы 3, 4 можно заменить одной аксиомой σ-адди-тивности.

3*. Если события A_n в последовательности A₁, A₂, … попарно несовместны, то

Из этих аксиом вытекают следующие свойства.

Свойства вероятностей

Доказательство:

Разобьем событие B в сумму несовместных событий

B=A+(B-A)

A⋅(B-A)=∅

P(B) = P(A+(B-A))=P(A)+P(B-A) (по аксиоме 3)

P(B-A)=P(B) - P(A) .

Доказательство:

Доказательство следует из 1 свойства и аксиомы 1.

P(A) + P(B-A) = P(B)

P(B-A) ≥ 0, следовательно P(A) ≤ P(B) .

Доказательство:

A ⊆ Ω ⇒ P(A) ≤ P(Ω)

P(Ω) = 1 (по аксиоме 2)

P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A (по аксиоме 1) .

Доказательство:

A+ Ā = Ω

A⋅ Ā = ∅

Тогда по аксиоме 3 и аксиоме 2 получаем

P(A+ Ā) = P(Ω),

P(A) + P(Ā) = P(Ω),

P(A) +P(Ā) = 1 ⇒ P(Ā) = 1 - P(A) .

Доказательство:

∅ + Ω = Ω

Тогда по аксиоме 3 и 2 получаем,

P(∅) + P(Ω) = P(Ω) ⇒ P(∅) + 1 = 1, P(∅) = 0 .

∀A, B ∈ A

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Доказательство:

A + B = A + (B - AB), A⋅(B - AB) = ∅

P(A+B) = P(A) + P(B - AB), но AB ⊆ B следовательно по первому свойству (вероятность от разности равна разности вероятностей).

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) .

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ