Шпаргалка с ответами на 59 вопросов / Шпора по терверу.doc

1.Предмет теории вероятностей.События.Алгебра событий.Теория вероятностей-раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.Разница между закономерными и случайными событиями.Закономерное событие-это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определённые условия.Закономерное явление - это система закономерных событий.Случайные события-это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда нет.Однако случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными закономерностями, при этом надо условится, что мы будем иметь дело не со всякими случайными событиями, а с массовыми, то есть будем предполагать, что в принципе можно создать много раз одни и те же условия, при каждом из которых могут произойти или нет некоторые случайные события.Пусть при осуществлении некоторых условий (N раз), случайное событие A, будет осуществляться N(А) раз.Число N(А) - называется частотой событий A, а отношение - относительной частотой события А.Если N велико, относительная частота для случайных массовых событий обладает свойством устойчивости.Пример:-серия испытаний.- относительная частота испытаний. ≈ ≈ … ≈

Относительная частота колеблется около определенного числа, которое характеризует данное случайное событие.Р(А) - вероятность события А.

Примеры:1)Пусть случайное событие A - выпадение герба при одном подбрасывании симметричной однородной монеты,Р(А) = 1/2 - вероятность выпадения герба.2)Статистика рождений показывает, что мальчиков рождается несколько больше, чем девочек. Доля рождения мальчиков 0,51-0,52.Р(А) = 0,51; 0,51 - вероятность рождения мальчиков. События. Достоверное событие - событие, которое всегда происходит (Ω).Невозможное событие - событие, которое не происходит никогда (∅).Событие Ā - событие противоположное событию A. Ā происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.Суммой событий A и B называется событие A+B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или A, или B, или оба вместе. Произведением событий A и B называется событие A⋅B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят A и B вместе.Разностью событий A и B называется событие A-B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.События A и B несовместны, если A⋅B=∅.Событие A влечет за собой событие B, если из наступления события A следует наступление события B (A ⊆ B).События A и B называются равносильными A=B, если выполняются одновременно два включения A=B⇔ A ⊆ B и B ⊆ A.Пример: Бросается игральная кость. A = {выпадает четное число очков} и B = {выпало число очков, не большее трех}Решение: Выпало число очков отличное от 5 (A+B).Выпало 2 (A⋅B).Выпало число очков равное 4 или 6 (A-B).Выпадает нечетное число очков (Ā).

3.Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности. Рассмотрим случай конечного вероятностного пространства. В этом случае Ω состоит из конечного числа элементарных событий ω.Ω = {ω} A - алгебра всех подмножеств Ω (ввиду конечности вероятностного пространства алгебра автоматически является σ-алгеброй), тогда вероятность P(A) для любого подмножества A⊆Ω задаем следующим образом. Пусть заданы неотрицательные числа Pω, которые удовлетворяют следующему требованию , тогда вероятность события (*) (способ введения вероятности на конечном вероятностном пространстве).Очевидно, что так определенная вероятность вместе P(∅)=0 будет удовлетворять всем аксиомам. Обозначим через Α- - количество элементов в множестве A. Частным случаем определения вероятности по формуле (*) будет так называемое классическое определение вероятностей, когда все Pω будут равны друг другу, так как; ; - формула классической вероятности (**)

Замечание:Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятностей, когда элементарные события обладают свойствами «симметрии». Пример:Бросается кубик на стол. ω₁ = {выпадает 1} ω₂ = {выпадает 2} - свойства симметрии

9.Формула полной вероятности

Система событий A₁,…,A_n называется конечным разбиением(разбиением) пространства Ω, если они:

1)попарно несовместны, т.е. A_i⋅A_j=∅, если i ≠ j.

2) A₁+A₂ +… A_n =Ω.

Теорема (Формула полной вероятности)

Если A₁,…,A_n - разбиение и все P(A_i)>0, то для всех событий B .

Доказательство:B=BΩ=B(A₁+…+A_n)=BA₁+…+BA_n

Пример. В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность события B={второй вынутый шар белый}. A = {первый шар белый}. Ā={ первый шар черный}

Решение

A⋅ Ā = ∅ , A + Ā = Ω

Пример показывает, что при правильно организованной жеребьевке шансы будут равны.

8.Условные вероятности; теорема умножения

N - число испытаний;

A, B, AB - события;

N(A), N(B), N(AB) - частоты событий;

- условная относительная частота события A при условии, что произошло событие B;

; ;

.

Если все относительные частоты событий устойчивы, тогда условная относительная частота тоже устойчива. Пусть P(B)>0.Условной вероятностью P(A|B) события A при условии, что событие B произошло, называется отношение .

P(A|B) = P_B(A) (встречается в литературе).

Теорема умножения

Если P(A)>0, P(B)>0, а P(A|B), то вероятность произведения .

Доказательство:

Доказательство следует из определения.

Пример:

1 способ. В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

A = {1 вынутый шар белый} B = {2 вынутый шар белый} AB = {оба шара белых}

,

.

2 способ. .

Следствие.

Пусть события A₁,…,A_n таковы, что P(A₁⋅…⋅A_n-1 )>0 тогда.

Доказательство: Доказательство проводится методом математической индукции.

13.Функция распределения случайной величины. Её свойства. Функция распределения СВДТ. Ряд распределения может быть построен только для СВДТ, для недискретных случайных величин из-за несчетности множества возможных значений такое представление невозможно. Наиболее общей формой закона распределения пригодной для всех типов случайных величин является функция распределения. Функция F(x)=F_x(x)=P{X<x}, ∀x∈R называется функцией распределения СВ Х. С помощью функции распределения можно выразить вероятности попадания CB Х в различные интервалы вида x₁≤X< x₂ , x₁≤X≤ x₂ , x₁<X≤ x₂ , x₁<X< x₂ . Пусть x₁ < x₂ , тогда {X< x₂} разложим в сумму двух несовместных событий {X<x₂}={X< x₁}+{ x₁≤ X<x₂}, тогда P{X<x₂}=P({X< x₁} +{ x₁≤ X<x₂})=P{X< x₁}+

P{ x₁≤ X<x₂}; F_X(x₂)=F_X(x₁)+ P{ x₁≤X≤x₂};P{ x₁≤X≤x₂}= F_X(x₂)-F_X(x₁) (**) Событие {X>x} можно представить, как счетную сумму несовместных событий Согласно (**).

P{X>x}=1- F_X(x+0); P{X≤x}=1- P{X>x}=F_X(x+0);

P{x₁≤X≤x₂}=F_X(x₂+0)- F_X(x₁); P{ x₁≤X≤x₂}=F_X(x₂+0)- F_X(x₁+0);P{ x₁≤X≤x₂}=F_X(x₂)- F_X(x₁+0);

P{ X=x}=F_X(x+0)- F_X(x);

Теорема.

Функция F_X(x) обладает следующими свойствами:

1. F_X(x) - не убывает;

2. F_X(x) - непрерывна слева;

3. F_X(+∞)=1;

4. F_X(-∞)=0;.

Доказательство 3 и 4:

1.Следует из (**), т.к. P{x₁≤X≤x₂ }≥0.

2.Следует из аксиомы непрерывности 4, т.к. события

F_X(x)= F_X(x-0) *.

Свойства 3, 4 вытекают из аксиомы счетной аддитивности (3*), т.к. Ω=ΣA_n (-∞<n<∞), где

A_n={ω n-1≤X(ω)<n}, тогда

Пусть (по теореме Вейeрштрасса).

(0≤ F_X(N) ≤ 1 )

Из равенства P{X=x}=F_X(x+0)-F_X(x) следует, что в точках разрыва функции F_X(x) имеет место положительная вероятность. P{X=x}>0

Так как при каждом натуральном n может быть не более n-точек x с вероятностями P{X=x}≥1/n, то у функции F_X(x) имеется не более счетного числа точек разрыва.Обозначим через x₁,x₂,.. все точки разрыва функции F_X(x), если вероятности P{X=x}=P_k таковы, что Σp_k=1, то это равносильно тому, что СВ X имеет дискретное распределение, то есть является СВДТ.Замечание. Для СВДТ F_X(x) имеет ступенчатый вид. Пример.

X -3 -1 0 2 3

P 0,1 0,3 0,1 0,3 0,2

Получить функцию распределения и построить ее график. Решение. F_X(x)=P{X<x}, т.е. F_X(x)=0(x≤-3); F_X(x)=0,1(-3<x≤-1); F_X(x)=0,4(-1<x≤0);

F_X(x)=0,5(0<x≤2); F_X(x)=0,8(2<x≤3); F_X(x)=1(x>3);

P{X=2}= F_X(2+0)- F_X(2)=0,8-0,5=0,3;

P{-1<X≤2}=F_X(2+0)-F_X(-1+0)=0,8-0,4=0,4 Введем новое важное понятие индикатора события.

Опр:Индикатором события A ∈ A называется СВ : .

Ряд распределения случайной величины I_A имеет следующий вид

I_A

0

1

P

1-p

p

где р-вероятность события А.

16.Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

МО в теории вероятностей относится к типу характеристик положения (см. далее мода, медиана), кроме них используется еще ряд числовых характеристик различного назначения, среди них особое значение имеют моменты (начальные, центральные).Положим g(x)=x^S.

Опр.Начальным моментом S-го порядка СВ Х называется α_S=M[X^S]. Замечание: Иногда используются абсолютные начальные моменты S-го порядка M[X^S].

Для СВДТ:

Для СВНТ: .

Замечание.

- начальный момент 1-го порядка.

Обозначим .

Определение. Центральным моментом S-го порядка называется .

Замечание.

Иногда используются абсолютные центральные моменты S-го порядка.

.

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Определение. Центральный момент II-го порядка () называется дисперсией СВ Х и обозначается .

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Опр. - называется средним квадратическим отклонением СВ Х (стандартным отклонением в литературе).

Свойства дисперсии:

1. .

Доказательство:

*.

2. .

Доказательство:

.

(*).

По свойству 4 МО и с учетом неравенства (*) получаем доказательство свойства 2 для дисперсии.

3. .

Доказательство:

Пример.

Пусть на прямой в точках x₁ <x₂ <…<x_k расположены точечные массы p₁,p₂., p_k Σp_i=1:

M[X]=Σx_ip_i (1<i<k) - центр тяжести

D[X]= Σ(x_i-m_i)p_i (1<i<k) - момент инерции масс p_i относительно центра тяжести.

Таким образом, МО характеризует место, вокруг которого группируются массы p_i, а дисперсия - степень разбросанности этих масс относительно МО.

21. Простейший Пуассоновский поток

На практике часто встречаются ситуации, где имеет место распределение Пуассона. Задача.

Пусть на оси времени 0t случайным образом возникают точки моменты появления каких-то однородных событий. (Например, вызовы на телефонной станции, приход посетителей в магазин и т.д.)). Последовательность таких моментов назовем потоком событий.Предположим, что поток обладает следующими свойствами.

Свойства.

1)Стационарность.Это свойство означает, что вероятность попадания, того или иного числа событий, на участок времени длиной τ не зависит от того, где на оси 0t расположен этот участок, а зависит только от его длины τ.Из этого следует, что среднее число событий, появляющееся в единицу (λ) времени , постоянно.λ - интенсивность потока.

2)Ординарность.Это свойство заключается в том, что вероятность попадания на малый участок Δt двух или более событий пренебрежимо мала с вероятностью попадания на него одного события.

Т.е. при Δt→0 вероятность двух или более событий является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на него одного события.

3)Отсутствие последствия.Это свойство означает, что вероятность попадания некоторого числа событий на заданный участок оси 0t не зависит от того сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним участок (в частности “будущее” потока не зависит от его “прошлого”).

Опр.Поток событий, обладающий этими 3-мя свойствами называется простейшим (или стационарным) Пуассоновским потоком.

Покажем, как простейший Пуассоновский поток связан с распределением Пуассона.

СВ Х - количество событий, попадающих на участок 0t, длиной τ. Покажем, что Х имеет распределение Пуассона. Доказательство:

Разделим участок длины τ на n равных частей

Δt =τ/n. МО числа событий, попадающих на элементарный участок Δt, равно Δt*λ. Согласно свойству 2 (ординарности) можно пренебречь вероятностью попадания на элементарный участок Δt, двух или более событий. Назовем элементарный участок Δt - занятым, если на нем появилось событие из потока. Назовем элементарный участок Δt - свободным, если на нем не появилось событие из потока.A = {участок Δt занят} I_A= 1(участок Δt занят) I_A= 0 (участок Δt свободен). M[I_A]=p_Δt- вероятность того, что участок Δt занят. Среднее число, то есть МО числа событий, попадающих на участок длины Δt, будет равно M[I_A]= Δt*λ.

p_Δt= Δt*λ. → p_Δt=λ*τ/n

Рассмотрим теперь n-участков на временной оси, как n-независимых испытаний (опытов), в каждом из которых (независимость этих испытаний ⇒ из свойства 3) может появиться событие А и вероятность этого события . Число занятых элементарных участков - это и есть Х.

СВ Х имеет биномиальное распределение

.

Будем теперь неограниченно увеличивать число элементарных участков и найдем при .

Согласно теореме Пуассона, при ,