1.ВВЕДЕНИЕ
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены − в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:
= (1)
При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1,...,Tn − постоянными времени данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи определяются как
размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)
Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):
=
= (2)
2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)==
==
=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)
Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
w(t)=
2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jω.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)=.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(jω)=U(ω)+jV(ω)
где U(ω) и V(ω) - вещественная и мнимая части.
W(jω)=A(ω),
где A(ω) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,ϕ(ω) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
A(ω)=W(jω)
АЧХ строят для всео диапазона частот −∞<ω<+∞, т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
ϕ(ω)=argW(jω)
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.
4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)=g(t)
y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)==kδ(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2⋅1(t)
w(t)=2⋅δ(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:
W(s)=k
W(jω)=k (7)
W(jω)=U(ω)+jV(ω)
U(ω)=k
V(ω)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(ω)=W(jω)
A(ω)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
ϕ(ω)=argW(jω)
ϕ(ω)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(ω)=20lg A(ω)
L(ω)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(ω)=2
ϕ(ω)=0
L(ω)=20lg2
U(ω)=2
V(ω)=0
Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.
4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t-τ) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
τ=0,1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)= g(t-τ)
y(t)=kg(t-τ) (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kg(t-τ) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-τ)=G(s)e-τs
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s) e-τs
W(s)= ke-τs (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-τ)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)==kδ(t-τ) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2⋅1(t-τ)
w(t)=2⋅δ(t-τ)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на τ=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:
W(s)=k e-τs
W(jω)=k e-jωτ =k(cosτω-jsinτω) (7)
W(jω)=U(ω)+jV(ω)
U(ω)=k cosτω
V(ω)=-ksinτω
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(ω)=W(jω)
A(ω)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
ϕ(ω)=argW(jω)
ϕ(ω)= τω (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(ω)=20lg A(ω)
L(ω)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(ω)=2
ϕ(ω)=0,1ω
L(ω)=20lg2
U(ω)=2cos0,1ω
V(ω)=-2sin0,1ω
Вывод:
4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)=g(t)
T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k⋅1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)⋅1
W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e ⋅1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T1 =0.62
h(t)=2 ⋅1(t)
w(t)=3.2e⋅1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:
W(s)=
W(jω)= (7)
W(jω)=U(ω)+jV(ω)==-j
U(ω)=
V(ω)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(ω)=W(jω)
A(ω)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
ϕ(ω)=argW(jω)
ϕ(ω)=arctgk - arctg
ϕ(ω)=-arctgT1 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(ω)=20lg A(ω)
L(ω)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T1 =0.62
A(ω)=
ϕ(ω)=arctg0.62ω
L(ω)=20lg
U(ω)=
V(ω)=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 - aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
-y(t)=g(t)
T -y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T p-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k⋅1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)⋅1
W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e ⋅1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T =0.62
h(t)=2 ⋅1(t)
w(t)=3.2e⋅1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:
W(s)=
W(jω)= (7)
W(jω)==j=U(ω)+jV(ω)
U(ω)=
V(ω)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(ω)=W(jω)
A(ω)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
ϕ(ω)=argW(jω)
ϕ(ω)=arctgk - arctg
ϕ(ω)=-arctg(-Tω) (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(ω)=20lg A(ω)
L(ω)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T =0.62
A(ω)=
ϕ(ω)=-arctg(-0.62ω)
L(ω)=20lg
U(ω)=
V(ω)=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=50,4
ao=120
bo=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
++y(t)=g(t)
+T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1=,T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,42
2T2=0,14
0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа