Исследование эффекта Гиббса при разложении функций в ряд Фурье. Вариант 19 / FOURIER variant 6.DOC

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

Технический университет

Курсовая работа

по теме: «Исследование эффекта Гиббса при разложении

функций в ряд Фурье»

Выполнил: студент ЭКТ-32 Иванов А.С.

Преподаватель: Богданова Н.А.

Москва 2002

Теоретическая часть

1. Тригонометрические ряды.

Функция f(x) называется периодической (периода а), если она определена на всей действительной оси и для нее выполняется равенство f(x+a) =f(x) для всех x.

Например, тригонометрические функции

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cos3x,… (1)
имеют период 2π.

На самом деле функции cos kx и sin kx для каждого натурального k имеют период 2π/k. Таким образом 2π/k<2π при k>1. Постоянная же y=1 имеет как угодно малый период. Однако все функции последовательности (1) имеют период 2π.

Периодическая функция S=f(t) изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени t координату s(на оси s).

Функция (периода 2l)

, (2)
где А>0, l>0 и ω-постоянные, k-натуральное, определяет гармоническое колебание точки с амплитудой А, фазой ω и частотой k.

Функция (2) имеет период 2l/k, т.е. одно полное колебание происходит за промежуток времени 2l/k . Количество же колебаний в единицу времени k/2l. Именно число k/2l нужно было бы назвать частотой колебания, но обычно частотой (колебания) называют число k. Отметим, что функция

,

где k- натуральное число, определяет гармоническое колебание, потому что

где

а ω определяется однозначно из соотношений

Конечная сумма гармонических колебаний с данным периодом 2l представляет собой сложное колебание

(3)
Наконец, более сложное периодическое колебание можно получить как сумму сходящегося( для всех t) ряда

, (4)
называемого тригонометрическим рядом.

Числа a_k и b_k называются коэффициентами тригонометрического ряда (4),а отдельные его слагаемые

называются членами ряда (4) или его гармониками (соответствующими частоте k).

2. Ряд Фурье

Пусть задана функция f(t) периода 2l и известно, что ее можно разложить в тригонометрический ряд:

(1)
Т.е. она уже есть сумма некоторого тригонометрического ряда для всех t . Спрашивается, как определить по функции f(t) коэффициенты a_k, b_k.

Этот вопрос принципиально был решен математиками и физиками в начале прошлого столетия. Существенный вклад в его решение внес Ж. Фурье. Он показал, что коэффициенты a_k ,b_k тригонометрического ряда, представляющего периодическую периода 2l функцию f(t), вычисляются по формулам

(2)
Числа а_k и b_k , вычисляемые по этим формулам, называют коэффициентами Фурье функции f(t), а тригонометрический ряд (1), в который вместо а_k и b_k подставлены соответствующие коэффициенты Фурье, называют рядом Фурье функции f(t).

Отметим, что если функция f(t) имеет период а и интегрируема на отрезке [0,a] или, как говорят, на периоде, то для нее справедливо равенство

(3)
для любого действительного числа λ.

Свойство (3), в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(t) периода 2l можно записать в виде

,

где λ - произвольное действительное число, потому что функции cos и sin периода 2l, а произведение функций периода 2l- в свою очередь функции периода 2l.

Отметим еще, что если функция f - четная на отрезке [-a, a], то

Если же функция f нечетная на отрезке [-a, a] , то

Функция cos четная, а sin - нечетная.

Кроме того, произведение двух четных и двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция. Поэтому для четной периода 2l функции f(t)

А для нечетной -

3. Коэффициенты Фурье

Допустим, что функция f(x) периода 2π разложена в тригонометрический ряд

(1)
и оказалось, что этот ряд равномерно сходится к ней.

Каждый член ряда (1) есть непрерывная функция, и ,так как ряд (1) по условию равномерно сходится, то его сумма f(x) есть непрерывная функция.

Помножим левую и правую части (1) на cos mx, где m- натуральное число. Так как функция cos mx непрерывна и ограничена, то полученный ряд снова будет состоять из непрерывных функций и снова будет равномерно сходиться, теперь уже к непрерывной функции f(x)cos mx. Но равномерно сходящиеся ряды непрерывных функций законно интегрировать почленно на конечном отрезке. Проинтегрируем полученный ряд почленно на периоде, т.е. на отрезке [-π, π]:

Второе равенство следует из ортогональности тригонометрических функций

Аналогично получим

В силу последних трех формул (2) п.4. (Орт. Св-ва)

Итак, мы доказали что если функция f представима в виде суммы тригонометрического ряда (1), равномерно сходящегося ( для всех x!), то числа а_k , b_k необходимо являются коэффициентами Фурье функции f.

Таким образом, всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

4. Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть a_k и b_k - коэффициенты Фурье функции f(x). На основании формул Эйлера

где (будем считать b₀ =0)

(1)
Отсюда

Эти два равенства можно записать в виде единой формулы

(2)
Важно заметить, что если f(x)- действительная функция, то а_k и b_k действительны, а числа с_k и с_-k, хотя вообще и комплексны, но взаимно сопряжены:

(3)
Очевидно, n-я сумма ряда Фурье функции f может быть записана в виде

(4)

А сам ряд Фурье функции f- в виде ряда

(5)
Мы будем говорить, что ряд (5) сходится для данного значения x , если существует предел

Таким образом определенная сходимость называется сходимостью в смысле главного значения.

Ведь можно было бы считать его сходящимся, если существует предел

,когда и n неограниченно возрастают независимо друг от друга.

Комплексные функции образуют ортогональную систему на отрезке [0,2π],так как при k≠l

Далее

Рассмотрим вопрос сложения и умножения функций, представленных в виде ряда Фурье.

Пусть

Очевидно, разложение в ряд Фурье линейной комбинации функций сводится к нахождению линейной комбинации соответствующих коэффициентов Фурье.

Найдем разложение в ряд Фурье произведения функций f(t) и h(t).

При этом мы ввели замену n=k+m и переставили местами суммирования по индексам n и k. Таким образом, n-й коэффициент разложения произведения двух функций будет иметь вид

Это выражение называется сверткой последовательностей {c_k} и {d_k}.

Таким образом, чтобы получить коэффициенты разложения произведения, нужно вычислить свертки коэффициентов.

Решим теперь обратную задачу. Найдем функцию, коэффициенты Фурье которой равны произведению соответствующих коэффициентов из двух разложений, т.е. функцию, которой соответствует ряд Фурье

Покажем, что эта функция есть свертка периодических функций f(t) и h(t) , определяемая следующим образом:

Вычислим коэффициенты Фурье свертки.

5. Явление Гиббса.

Перейдем к рассмотрению одного из наиболее важных с практической точки зрения результатов теории рядов Фурье, который называется явлением Гиббса. Известно, что, в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению функции, а в точке разрыва к среднему двух граничных значений. Каждый член ряда представляет собой непрерывную функцию и, следовательно, теорема о том, что равномерно сходящийся ряд из непрерывных функций сходится к непрерывной функции, указывает теперь на то, что в точке разрыва сходимость ряда Фурье носит особый характер.

Для практических целей всегда приходится ограничивать любой формируемый ряд Фурье. Это усечение приводит к явлению, которое называется явлением Гиббса. Наиболее наглядно этот эффект можно продемонстрировать на примере прямоугольной волны.

Решение:

Получаем искомое разложение

В силу симметрии волны можно рассмотреть только сходимость различных сумм, на участке [0,π] к значению f(t)=1. Если построить графики частичных сумм, то можно видеть, что они имеют колебательный характер относительно прямой f(t)=1. Наибольшую амплитуду при этом имеет первый максимум после точки разрыва x=0 и последний максимум перед точкой разрыва x=π (кривая частичной суммы симметрична относительно x=π/2).Если выделить точки разрыва 0 и π малыми δ- окрестностями, то в оставшемся промежутке [δ, π-δ] ряд сходится равномерно. Иными словами на этом промежутке с ростом n амплитуды осцилляций уменьшается и при достаточно больших n графики частичных сумм сколь угодно тесно примыкают к прямой y=1. Вблизи же точек разрыва x=0, π, где функция скачком переходит от значения 1 к значению 0, равномерность приближения нарушается. Однако, прежде чем устремиться к значению 0, графики частичных сумм продолжают колебаться около прямой y=1 с возрастающей с увеличением n частотой. При этом, амплитуда этих колебаний вовсе не имеет тенденции бесконечно уменьшаться при n→∞, а остается практически постоянной. Этот дефект сходимости и носит название явления Гиббса.

Чтобы увидеть пути устранения этого эффекта рассмотрим математически, к чему ведет усечение ряда Фурье.

Пусть функция f(t) задана в виде комплексного ряда Фурье

Процесс усечения этого ряда до конечной суммы

есть то же самое, что умножение коэффициентов разложения с на числа …0,0,0,1,1,1,1,……0,0,0,……(2N+1) значение равно единице, остальные значения равны нулю. Сформируем из этих чисел последовательность d:

Функцию, имеющую коэффициенты Фурье d_n можно получить, просуммировав соответствующий ряд Фурье.

Таким образом, с помощью коэффициентов d_n усеченный ряд Фурье для функции f(t) можно представить в виде бесконечного ряда, но для функции, коэффициенты Фурье которой есть с_nd_n . такой функцией является свертка функций f(t) и h(t),т.е.

Таким образом, усеченный ряд Фурье для f(t) эквивалентен ее свертыванию с

При этом функцию h(t) называют свертывающим окном. Т.к. при больших N h(t) быстроколеблющаяся функция с максимальным значением (2N+1) в нуле и резко спадающая в обе стороны от нуля, то при свертке с прямоугольным импульсом возникают осцилляции, составляющие явление Гиббса. Эта неравномерная сходимость (явление Гиббса) может быть уменьшена путем использования менее резкого усечения рядов Фурье с помощью окон данных различной модификации. Например:

Окно Бартлета: σ(N,n)=1-n/N, 0<n<N

Окно Ханнинга: σ(N,n)=1/2[1-cos(2πn/N)], 0<n<N

Окно Хамминга: σ(N,n)= 0.54- 0.46cos(2πn/N), o<n<N

И т. д.

Приближенное выражение для искомой функции будет даваться частичной суммой ряда:

Практическая часть

Разложение функции в ряд Фурье.

Исходные данные:

Найдем коэффициенты ряда:

,

,

,

Подставим коэффициенты в ряд Фурье и получим

Текст программы (MathLab 6.0)

pi=acos(-1);

m=50;

x=[-pi:0.1:pi];

f=pi/4;

f1=pi/4;

f2=pi/4;

f3=pi/4;

for k=1:m,

ak=(1/(pi*k^2))*((-1)^k-1);

bk=((-1)^(k+1))/k;

f=f+(ak*cos(k*x)+bk*sin(k*x));

f1=f1+(ak*cos(k*x)+bk*sin(k*x))*(1-k/m);%окно Бартлера

f2=f2+(ak*cos(k*x)+bk*sin(k*x))*(1/2)*(1-cos(pi*(k-m)/m));%окно Ханнинга

f3=f3+(ak*cos(k*x)+bk*sin(k*x))*(0.54-0.46*cos(pi*(k-m)/m));%окно Хамминга

end

x1=[-pi:0.1:0];

y1=0;

x2=[0:0.1:pi];

y2=x2;

plot(x,f,'b',x1,y1,'+',x2,y2,'+');grid

%plot(x,f1,'b',x1,y1,'+',x2,y2,'+');grid %окно Бартлера

%plot(x,f2,'r',x1,y1,'+',x2,y2,'+');grid %окно Ханнинга

%plot(x,f3,'r',x1,y1,'+',x2,y2,'+');grid %окно Хамминга

%plot(x,f,x,f1,'b',x,f2,'r',x,f3,'g',x1,y1,'+',x2,y2,'*');grid

Графики

1.График функции и неусеченного ряда Фурье:

2.График функции и ряда Фурье, усеченного окном Бартлера:

3. График функции и ряда Фурье, усеченного окном Хамминга:

4. График функции и ряда Фурье, усеченного окном Ханнинга:

Список литературы:

1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский ”Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды”

2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк “Основы математического анализа ч.2”

3. П.И. Романовский “Ряды Фурье” М. Наука 1980 г.

4. Г.П. Толсктов “Ряды Фурье” М. Наука 1980 г.

5. Р.В. Хемминг “Цифровые фильтры” М. Советское радио 1980 г.