Лекции по волнам / Лекции по оптике/OPTC_1.DOC

Лекция 1

Волны

1. Введение

Начинается третий семестр изучения физики, третий этап. Разделение материала, объединенного названием “Физика” на три части, конечно, прежде всего связано с тем обстоятельсьвом, что мы изучаем этот предмет три семестра. Но такое деление оказывается достаточно логичным и с точки зрения содержания его (курса) разделов.

Вначале мы занимались механическим движением. Вообще говоря, описание движения тел макроскопических разительно отличается от описания движения молекул. В этом последнем случае нам пришлось использовать непривычный вероятностный способ описания. Он оказался необходимым потому, что невозможно “точно” описать движение тех огромных, невообразимо огромных количеств молекул, с которыми приходится имеет дело в молекулярной физике.

Но, тем не менее, мы, по существу, описывали движение молекул как чисто механическое, но скоро нам придется в определенной мере отказаться от такого способа и использовать мало похожий на механический способ волнового описания их движения. И здесь опять встанет вопрос о вероятностях, но необходимость в вероятностном подходе будет уже связана с другими обстоятельствами, не свзанными с количеством частиц. Впрочем, сколько-нибудь подробно мы сможем говорить об этом значительно позже.

Затем мы занимались обсуждением явлений электричества и магнетизма. Объединение названия этих явлений в одно слово “электромагнитные” обусловлено не просто вопросами удобства, мы могли и пытались проследить, выяснить глубокую связь электрических и магнитных явлений. И можно еще вспомнить, что если электростатика связана с изучением взаимодействия действительно неподвижных, “статичных” зарядов, то магнитостатика оказывается вовсе не статикой, все магнитные явления связаны с движением зарядов.

Но особо важно то, что при описании электромагнитных явлений нами использовалось понятие поля, прежде всего поля статического. В конце концов мы пришли к необходимости описывать явления при изменении во времени поля электрического и поля магнитного, явлений электромагнетизма и магнитоэлектричества. Заметим, что, ограничиваясь достаточно медленными движениями зарядов мы решали задачи квазистатические: в полном соответствии с экспериментом электрические поля не слишком быстро движущихся зарядов мы считали совпадающими с полями зарядов неподвижных.

Мы закончили наш разговор об электромагнитных явлениях уравнениями Максвелла, “вобравших” в себя все многообразие этих явлений и, наконец, выяснили, что одно из возможных решений этих уравнений - это электромагнитная волна. До того мы говорили еще и о механических волнах, а вот теперь мы приступаем к обсуждению волновых явлений на новом уровне. С одной стороны мы будем говорить о волнах самой разной природы, о способах их возбуждения и об их распространении, а с другой - об общих закономерностях или проявлениях волнового характера движения, не связанных с конкретной природой волны. Поэтому, если сказать о предмете предстоящих нам в этом семестре разговоров очень коротко, то можно охарактеризовать его одним словом “волны”.

За этим словом стоит огромное количество весьма разнообразных явлений, огромное, можно сказать, неисчерпаемое количество вопросов “как” и “почему”, “при каких условиях”, “какова природа волны” и прочих вопросов. Конечно, исчерпаемы наши знания о волнах, в принципе исчерпаемы. Мы будем обсуждать здесь лишь небольшую часть этих “знаний”, прежде всего, естественно, самых элементарных. Но, видимо, нам не раз придется убедиться, что мы знаем о волнах не очень много и что-то будет казаться непонятным. Часто описание явлений будет требовать слишком сложного для нас математического аппарата, мы в таких случаях будем пользоваться приблизительным количественным, иногда лишь качественным описанием. И в этой связи хочется сделать такое замечание.

Если Вам кажется, что какое-то явление очень просто, элементарно, то это часто означает лишь то, что либо мы просто не говорим о сложностях явления, либо не понимаем этих сложностей. Но, конечно, мы все время должна стремиться к возможно лучшему их пониманию и - постарайтесь возможно хорошо понять простые явления, только тогда и явления более сложные будут для Вас не совсем непонятными.

2. Что такое волна. Какие бывают волны

2.1. Синусоидальные волны.

Распространение колебаний

Наверное, это просто необходимо - начать разговор с самых общих проблем и понятий. И самым общим является то, что волновой процесс является процессом распространения колебаний. Эти колебания, естественно, происходят во времени и, вообще говоря, различны в разных точках пространства. Из всех возможных колебаний мы ранее ограничивались только колебаниями гармоническими, происходящими по закону вида . При этом амплитуда ξ₀ была постоянной или приблизительно постоянной величиной. О возможности изменения начальной фазы ϕ мы вообще не говорили. Занимаясь волнами, мы вновь в основном ограничимся волнами, связанными с распространением гармонических или почти гармонических колебаний, амплитуда которых достаточно медленно изменяется в пространстве и/или во времени. Иногда нам придется говорить и о возможности изменения (опять-таки в пространстве или во времени) начальной фазы ϕ.

Такие колебания и волны обычно называют синусоидальными, хотя, как правило, мы использовали и будем использовать для их описания функцией “косинус” а не “синус”. Но смущать Вас это не должно, “синусоиду” всегда можно записать как “косинусоиду” простым изменением начальной фазы. И, вообще говоря, колебания любого вида можно рассматривать (описать) как сумму (конечного или бесконечного) количества гармонических колебаний, но это особый разговор. Так что ограничимся лишь этим замечанием, не входя в какие-нибудь подробности и тем более откажемся от каких-либо доказательств. Просто примите это замечание к сведению. Как говорится, “без потери общности” ограничимся рассмотрением синусоидальных волн.

Наиболее простой для описания является плоская синусоидальная волна. Она описывается выражением

.

В этом выражении буква ξ обозначает некоторую величину, колебания которой мы рассматриваем, ξ₀ - амплитуда колебаний. Фазой мы называем аргумент гармонической функции . Как правило, мы будем считать начальную фазу колебаний ϕ равной нулю. Заметим, что термин “начальная фаза” применительно к волне оказывается не совсем точным. Выражение ϕ = 0 означает, что фаза колебаний равна нулю не просто при t = 0, но и при x = 0, при начале отсчета времени и в точке, которую мы считаем началом координат. В разных точках при t = 0 фаза колебаний различна и, вообще говоря, отлична от нуля. Она равна kx.

Будем мысленно переходить от одной точки к другой в положительном направлении оси OX. Если мы в какой-то момент времени от точки x перешли в точку Δx, то фаза колебаний изменится на kΔx. Но через время она примет прежнее значение. Разделив перемещение на время, мы получим некую скорость. И, на первый взгляд, это какая то достаточно абстрактная скорость. Действительно, что движется с такой скоростью? Мы должны сказать, что с такой скоростью движется точка, в которой фаза неизменна. Поэтому должно быть понятно, почему эта скорость называется фазовой. Но в синусоидальной, например, звуковой волне значение фазы в некоторой точке однозначно (при заданной амплитуде) связано с энергией (плотностью энергии) в этой точке. Значит, с такой скоростью распространяется энергия. Значит, с такой скоростью распространяется энергия. Иногда эту скорость называют просто скоростью распространения волны. Стало быть, скорость распространения синусоидальной волны - это скорость распространения энергии, кинетической и потенциальной в случае волны механической.

Заметим, опуская пока подробности, что кроме фазовой скорости волны вводится еще одна скорость - группова. Но этот обсуждать вопрос мы будем позднее.

2.2. Волна плоская, цилиндрическая, сферическая

Точки, в которых фаза колебаний одинакова, образуют некоторую поверхность. Ее называют фронтом волны. В случае плоской волны фронт будет плоским. Кроме того выделяют волны цилиндрические и сферические. Смысл этих терминов, видимо, очевиден. При изображении волны часто рисуют эти фронты, чаще - линии пересечения фронтов с плоскостью рисунка. Это будут либо прямые либо окружности. Чаще всего для рисования выбирается фронт, на котором фаза колебаний равна нулю. Такие фронты по понятным причинам называют гребнями волны. Расстояние между ними в направлении нормали равно длине волны. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за время одного колебания. Таким образом,

.

В принципе, при распространении волны энергия может поглощаться средой, в которой происходят колебания. Но при отсутствии “потерь” энергии справедлив закон ее сохранения. Это означает, что поток энергии через поверхности различных фронтов равны друг другу (разумеется, речь идет о среднем за период потоке энергии). А если мы вспомним, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то очевидными покажутся следующие выражения для плоской, цилиндрической и сферической волн:

.

r >> λ;

r >> λ;

Здесь - волновой вектор (он определяет направление распространения волны), - радиус-вектор точки наблюдения. Если мы перемещаем точку наблюдения на Δ в направлении вектора , фаза колебаний изменяется на . При переходе с одного гребня на другой .

Заметим, что на больших расстояниях от источника света сферическая или цилиндрическая волна может считаться плоской. Это расстояние должно быть много больше длины волны, которая является естественной единицей измерения расстояний при анализе процесса распространения волны.

Разумеется, поперечные размеры рассматриваемого (выделенного) участка фронта волны должны быть при этом много меньше расстояния до источника, но и много больше длины волны. Иначе будут наблюдаться дифракционные явления, о которых речь пойдет позднее.

При сложении плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях и имеющих одинаковую амплитуду ξ₀, получается стоячая волна с амплитудой 2ξ₀. Обычно встречная волна получается при отражении плоской волны от некоторого плоского же препятствия, но вопросами отражения мы займемся несколько позже. Пока же произведем формально сложение встречных волн:

.

ξ

0 x

пучность узел

Мы воспользовались выражением для суммы косинусов и получили весьма важный результат. Подчеркнутая часть выражения представляет собой амплитуду колебаний, которая оказывается разной в разных точках. При этом изменяется не только ее модуль, но и ее знак. И мы знаем, что смена знака амплитуды означает изменение фазы колебаний на π.

Давайте еще вспомним два термина: в точках, где амплитуда равна нулю, находится узел, а в точках, где модуль амплитуды максимален - пучность колебаний. Несколько сложнее обстоит дело с потоком энергии. Средний поток энергии при всех значениях координаты x всегда равен нулю. Но это после усреднения по времени, а “мгновенное” значение потока энергии (плотности потока) стоячей волны может быть в некоторых случаях равно нулю, в некоторых - изменяющееся во времени, знакопеременное - в зависимости от природы волны.

2.3. Волны продольные и поперечные.

Поляризация

Когда волна распространяется вдоль некоторого направления, например, вдоль оси 0X, колебания могут происходить вдоль того же направления (такая волна называется продольной), либо в перпендикулярном к нему направлении (волна поперечная). Если волна механическая, с колебаниями связаны реальные перемещения некоторых масс. В электромагнитной волне, которая является поперечной, в направлении осей 0Y и/или 0Z направлено электрическое поле, изменяющееся во времени. Таким образом, фактически вдоль оси 0X могут распространяться две волны одной частоты

; .

Вообще говоря, у них могут быть разными значения амплитуд и/или начальных фаз. При этом результирующая картина колебаний будет различной.

Термин “поляризация” обычно применяется лишь при анализе электромагнитной волны. Но “увидеть” картину результирующих (суммарных) колебаний, представить их себе проще, если мы будем рассматривать поперечные колебания струны. Все-таки в этом случае вдоль того или иного направления происходит реальные колебания участков струны, движущихся по некоторым траекториям в плоскости Y0Z, перпендикулярной направлению распространения. В случае волны электромагнитной по такой траектории движется конец вектора .

Z Z O'

E_Y=0

E_Z=0 Y θ Y

O

Рассмотрим так называемую плоскую или линейную поляризацию. При такой поляризации колебания происходят вдоль некоторой прямой. И направление этой прямой может быть различным.

Если одна из составляющих (y- или z-составляющая) равна нулю, колебания происходят вдоль координатной оси (0Z или 0Y соответственно). Другие возможные случаи линейной поляризации реализуются при равенстве фаз колебаний ϕ_Y = ϕ_Z. При этом .

Z

Y

В плоскости Y0Z колебания происходят вдоль прямой OO', отсюда термин “линейная поляризация”. С другой стороны, векторы электрического поля параллельны плоскости, проходящей через эту прямую и ось 0X. Поэтому такую поляризацию называют иногда плоской.

Если и E_Y0 = E_Z0, поляризация будет круговой, при различных амплитудах - эллиптической. При этом оси эллипса направлены вдоль координатных осей.

При прохождении световой волны через некоторые вещества разность фаз колебаний вдоль координатных осей может изменяться, будет изменяться и вид поляризации.

При этом обычно обеспечивается равенство амплитуд y- и z-составляющих колебаний.

Z Z Z Z Z Z

Y Y Y Y Y Y

0⁰ 45⁰ 90⁰ 135⁰ 180⁰ 225⁰

р а з н о с т ь ф а з

В таких условиях направление осей эллипса могут быть произвольными. Заметим, что отрезок прямой или окружность можно рассматривать как частные случаи эллипса. Поэтому, вообще говоря, существует лишь один вид поляризации - эллиптическая.

Но сказанным не исчерпывается классификация видов поляризации. При излучении света реальными источниками разность фаз и амплитуды колебаний не остаются постоянными, изменяются случайным образом. Если характерное время изменения поляризации меньше времени ее измерения (определения), такой свет называется неполяризованным. Возможна также частичная поляризация, когда колебания вдоль некоторого направления в среднем имеют большую амплитуду, чем в перпендикулярном ему.

6

Лекция 1

5

Лекция 1