Лабораторная работа №1-К / ЛР-1-К-N4-Моделирование.doc

Лабораторная работа 1- К

Электростатическое поле в вакууме

Введение

Вектор напряженности электрического поля неподвижного точечного заряда вычисляется по формуле

, (1)

где электрическая постоянная, вектор, проведенный от точечного заряда в точку, в которой определяется . Из (1) следует, что

,

а направление вектора напряженности совпадает с направлением при и противоположно направлению при . Используя принцип суперпозиции, нетрудно вычислить напряженность поля, созданного несколькими точечными зарядами. Если заряды распределены в пространстве непрерывно по известному закону, то для вычисления поля необходимо провести суммирование бесконечно малых величин - векторов напряженности, которые создаются бесконечно малыми порциями заряда. Математически эта задача сводится к интегрированию.

Однако реальные задачи, которые приходится решать в электростатике, гораздо сложнее. Дело в том, что распределение заряда в объеме и по поверхности тел не бывает известным заранее, а само подлежит определению.

Пусть, например, требуется найти напряженность поля уединенного проводника произвольной формы, заряд которого . Воспользоваться формулой (1) и принципом суперпозиции для расчета электрического поля напрямую не удается, поскольку не известна поверхностная плотность заряда в различных точках поверхности проводника. Заряд по поверхности распределен неравномерно и только в простейшем случае, когда проводник является шаром, поверхностная плотность заряда одинакова во всех точках поверхности. Если же, например, проводник имеет форму стержня, то большая часть заряда сосредоточена вблизи его концов.

Еще более сложной становится задача расчета полей при наличии диэлектрических тел. В электрическом поле происходит поляризация диэлектриков и наряду со сторонними зарядами необходимо учитывать и связанные (поляризационные заряды). В данной работе мы не будем рассматривать явления, связанные с поляризацией диэлектриков, и сформулируем общую задачу электростатики в вакууме следующим образом.

Заданы расположение в пространстве (в вакууме) и форма одного или нескольких проводящих тел. Кроме того известны заряды или потенциалы этих проводников. Требуется определить напряженность электрического поля во всех точках пространства и распределение заряда по поверхности проводников.

Общий подход к решению этой задачи состоит в следующем. Из теоремы Гаусса и условия потенциальности электростатического поля выводится (см. Приложение) дифференциальное уравнение 2-го порядка

, (2)

называемое уравнением Лапласа, которое при определенных граничных условиях на поверхности проводников, позволяет в принципе рассчитать потенциал в любой точке поля. Если потенциал найден, то вектор напряженность электрического поля можно рассчитать по формулам

, , , (3-а)

которые принято объединять одной векторной записью

(3-б)

( - орты осей прямоугольной системы координат ).

Лишь в некоторых случаях удается выразить через элементарные функции, а чаще всего для решения уравнения Лапласа приходится привлекать численные методы и компьютерные расчеты. Мы научимся анализировать основные особенности электрического поля по результатам таких расчетов , вычислять вектор напряженности электрического поля в различных точках пространства и плотность поверхностного заряда на проводниках.

Еще раз заметим, что уравнения (2), (3) выводятся из теоремы Гаусса и условия потенциальности электростатического поля. Таким образом, значение теоремы Гаусса не ограничивается возможностью решения с ее помощью нескольких частных задач электростатики. И роль потенциала не сводится только к возможности простого расчета с его помощью работы сил поля. Теорема Гаусса и условие потенциальности электростатического поля приводят к уравнению, на основе которого решаются любые задачи электростатики.

Потенциал электростатического поля

В отличие от вектора напряженности электрического поля потенциал является скалярной величиной. Зная значения потенциала в окрестности некоторой точки, можно по формулам (3) вычислить напряженность поля в этой точке.

Пример. Найти напряженность электрического поля, потенциал которого зависит от координат x и y по закону , где a - постоянная.

Решение. , , , .

Обычно потенциал удается измерить или рассчитать в конечном числе точек, расположенных в некоторой области. Пусть, например, известны значения потенциала в близко расположенных узлах прямоугольной сетки (рис.1). Тогда вектор напряженности электрического поля в точке 0 имеет проекции на оси X и Y:

, .

Рис.1.

Для приемлемой точности необходимо, чтобы в рассматриваемой окрестности точки 0 электрическое поле менялось слабо и, очевидно, что точность этих формул увеличивается с уменьшением a и b. Заметим, что замена производной отношением малых приращений функции и аргумента широко используется в численных методах и в экспериментальной технике.

Рис.2. Рис.3.

Электростатические поля удобно изображать при помощи эквипотенциальных поверхностей - поверхностей равного потенциала. Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку 0 и введем локальную систему координат с началом в этой точке (рис.2). Ось Z направим по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциала . Это направление примем за положительное направление нормали . Координатная плоскость очевидно совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке 0 . Кроме того, орт оси , . Формула (6) переходит в

. (4)

Функция возрастает наиболее быстро в направлении нормали . Поэтому, согласно (8), вектор напряженности электрического поля в каждой точке пространства перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону максимального убывания потенциала. Модуль вектора напряженности равен модулю производной функции в том же направлении.

Поясним сказанное на примере. На рис.3 изображены две эквипотенциальные поверхности, соответствующие двум близким значениям потенциала и . - вектор нормали, направленный в сторону увеличения потенциала. Видно, что производная по направлению больше, чем производная, вычисленная по любому другому направлению . Вектор напряженности направлен в сторону, противоположную , и его модуль.

Очевидно, что эквипотенциальная поверхность не может самопересекаться, поскольку в точках пересечения можно было бы провести две касательные плоскости и определить два различных направления вектора напряженности (рис.4.). Исключение составляют особые точки, где .

Рис.4. Рис.5.

Компьютерное моделирование

Существуют различные методы решения дифференциальных уравнений. В некоторых частных случаях решение удается получить аналитически (выразить через элементарные функции), но чаще всего приходится использовать численные методы и компьютерные расчеты.

Будем исходить из того, что уже разработана компьютерная программа, которая с высокой точностью находит решение уравнения Лапласа , удовлетворяющее заданным граничным условиям на поверхности тел, входящих в систему. Такое решение будет совпадать с экспериментом, если все проводники являются однородными, неподвижными и в поле отсутствуют диэлектрики. Поэтому к результатам таких компьютерных расчетов можно относиться как к "компьютерному эксперименту", моделирующему эксперимент реальный. Наша задача состоит в выполнении "компьютерного эксперимента" и в анализе получаемых результатов.

Работа с компьютерными программами обычно включает два этапа. Во-первых, необходимо убедиться в правильности работы программы. Для этого программу "испытывают" на частных задачах и в специальных случаях, когда решение точно (или приближенно) известно. Компьютерный эксперимент должен подтверждать известные закономерности, а также показывать отклонение от теоретических результатов, полученных в рамках некоторых предположений, нарушающихся в компьютерном эксперименте.

Например, потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля, созданного точечным диполем в точке, положение которой задано радиус-вектором (рис.5), определяются формулами

, (5)

. (6)

где электрический момент диполя (дипольный момент), - вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному, - угол между векторами и . Формулы (5), (6) получены для точечного диполя, когда длина пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения. Поэтому при нарушении условия должны наблюдаться отклонения расчетов по формулам (5), (6) от результатов компьютерного эксперимента. Причем эти отклонения должны уменьшаться с увеличением .

После "испытания" компьютерной программы можно приступить к поиску новых закономерностей. Вам будет предложено исследовать распределение заряда по поверхности заряженного проводящего эллипсоида, а также по поверхности проводящей сферы, расположенной в поле точечного заряда. Эти задачи являются для Вас новыми в том смысле, что их не удается решить, напрямую воспользовавшись формулой (1) и принципом суперпозиции.

Для "экспериментального" определения плотности поверхностного заряда следует воспользоваться результатом, строго вытекающим из теоремы Гаусса: во внешнем пространстве вблизи поверхности проводника поле перпендикулярно к поверхности проводника и определяется формулой

, (7)

где - нормаль, проведенная наружу от поверхности проводника, - поверхностная плотность заряда в данной точке поверхности.

Подготовка к работе.

Физические понятия, величины, законы, соотношения, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

Приведите в конспекте вывод формул (3), (5), (6), (7).

Докажите утверждения:

Выполнение работы

Упражнение 1. Напряженность и потенциал в произвольной точке поля диполя.

Таблица 1

.

Аналогичным способом определите :

.

Рассчитайте . Сравните полученные результаты для потенциала и модуля напряженности с расчетами по формулам (5), (6).

,

В

,

В

,

В/м

,

В/м

,

В/м

В/м

, В/м

формула (5)

зонд

формула (6)

двойной зонд, 1 мм

измерено при 20 мм

Упражнение 2. Электрическое поле двух точечных зарядов произвольной величины, расположенных на расстоянии друг от друга.

Следующие пункты 2 и 3 упражнения 2 являются дополнительными и выполняются по согласованию с преподавателем.

,

рассчитайте потенциал "критической" эквипотенциальной поверхности, проходящей через особую точку. Сравните рассчитанное значение с "экспериментальным". Картину эквипотенциальных поверхностей распечатайте или зарисуйте.

Упражнение 3. Электрическое поле заряженного проводящего эллипсоида вращения (ось симметрии эллипсоида вращения, и - большая и малая полуоси).

Упражнение 4 (дополнительное). Точечный заряд вблизи нейтральной проводящей сферы.

Как пользоваться компьютерной программой.