Лабораторная работа №10 / ЛР-10 Зар-разр конденсатора.doc
Лабораторная работа
Процессы установления тока при зарядке и разрядке конденсатора
Теоретическая часть
Пусть в некоторый момент времени обкладки заряженного конденсатора соединяют проводником (рис.1). Конденсатор начнет разряжаться, и по проводнику потечет ток. Считая ток в проводнике положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной, можем записать
где I, q и U - мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками, C - емкость конденсатора, R - сопротивление проводника. Исключая из этих уравнений I и U, получим
.
Интегрируя это уравнение, найдем
, (1)
где q0 - начальное значение заряда конденсатора, а - постоянная:
,
имеющая размерность времени. Она называется временем релаксации. Через время заряд конденсатора убывает в e раз. Дифференцируя (1), находим закон изменения тока во времени:
,
где - начальное значение тока, U0 - начальное значение напряжения на конденсаторе.
В процессе разрядки конденсатора в резисторе выделяется тепло. За время, в течение которого конденсатор разрядится полностью, количество выделившейся теплоты
равно начальной энергии конденсатора. Интересно отметить, что с увеличением сопротивления R разрядка конденсатора будет происходить медленнее, однако общее количество выделившейся на резисторе теплоты за все время разряда не зависит от сопротивления R и равно начальной энергии конденсатора.
Аналогично решается задача о зарядке конденсатора. Пусть в некоторый начальный момент времени к незаряженному конденсатору подключается источник тока с постоянной ЭДС E . С этого момента начинается процесс зарядки конденсатора от источника ЭДС E через сопротивление R. Протекающий через источник ЭДС ток приводит к накоплению положительного заряда на обкладке, подключенной к положительному полюсу источника питания (к которой направлен ток), на другой обкладке накапливается отрицательный заряд. Считая ток в проводнике положительным , когда он направлен от "+" источника ЭДС, получим
.
Напряжение на конденсаторе
в процессе его зарядки увеличивается, а на резисторе соответственно уменьшаться. По закону Ома
(предполагается, что внутреннее сопротивление источника ЭДС пренебрежимо мало).
Из этих уравнений следует
.
Полученное неоднородное дифференциальное уравнение сведется к однородному, если его записать в виде
.
Решая это уравнение, получим
.
Значение постоянной интегрирования B найдем из условия, что в начальный момент времени конденсатор не заряжен: q = 0 при t = 0. Это дает B = -EC, и, следовательно,
.
Для тока получаем
.
В начальный момент времени ток максимален и равен . При ток стремится к нулю, а заряд - к предельному значению .
В процессе зарядки конденсатора источник ЭДС совершает работу
,
а на резисторе выделяется тепло
.
В результате энергия конденсатора возрастает на величину
.
Приведенные выше решения получены в предположениях, что мгновенное значение силы тока одно и то же во всех поперечных сечениях провода, соединяющего обкладки конденсатора, а мгновенное значение электрического поля такое же, как в электростатике при тех же зарядах на обкладках конденсатора. Токи и поля, удовлетворяющие этим условиям, называются квазистационарными. Приближение квазистационарных токов перестает быть справедливым при очень быстрых изменениях тока и электрического поля. В большинстве электрических схем, не связанных с преобразованием электромагнитных волн, отклонение от квазистационарности обычно не существенно.
Инерционность процессов зарядки и разрядки конденсатора лежит в основе их широкого практического использования, в частности, при преобразовании переменного тока в постоянный, для разделения постоянной и быстропеременной составляющих тока, подавления помех и так далее.
Вместе с тем, наличие емкости между различными проводниками, входящими в состав электронных приборов (диодов, транзисторов, микросхем на их основе), ограничивает их быстродействие. Увеличение быстродействия цифровой схемы (например, микропроцессора) сопровождается уменьшением длительности импульсов тока и напряжения, которые должна "обрабатывать" схема. Однако продолжительность импульсов не может быть сделана меньше постоянной времени RC , поскольку на такие короткие импульсы схема не будет успевать "реагировать".
Описание эксперимента
В работе исследуются зависимости тока и напряжения от времени при зарядке и разрядке конденсатора. Когда постоянная времени составляет десятки и сотни секунд, для наблюдения релаксационных процессов используются измерительные приборы постоянного тока. Электрическая схема установки приведена на рис.2.
Рис.2.
Когда переключатель находится в положении "1", обкладки конденсатора замкнуты проводником с очень малым сопротивлением ("закорочены") и заряд конденсатора равен нулю. После перевода переключателя в положение "2" начинается зарядка конденсатора от источника ЭДС E через резистор R. Его роль выполняет магазин сопротивлений, позволяющий изменять R в широких пределах и с большой точностью. Зарядка конденсатора прекращается при переводе переключателя в положение "3". После перевода переключателя в положение "4" начинается разрядка конденсатора через резистор R. Напряжение на конденсаторе измеряется вольтметром "V", ток зарядки - миллиамперметром "mA".
Для наблюдения быстрых релаксационных процессов используются электронный осциллограф "Осц." и генератор прямоугольных импульсов "Г" (рис.3).
Рис. 3.
При выключенном тумблере конденсатор отключен, и на экране осциллографа наблюдается зависимость напряжения на резисторе (магазине сопротивлений) от времени. Включенный последовательно с генератором прямоугольных импульсов полупроводниковый диод "пропускает" ток только в одном направлении. Потому напряжение на резисторе будет однополярным, т.е. изменяться от нуля до некоторого максимального значения (а не от максимального отрицательного до максимального положительного, как было бы в отсутствие диода).
При включенном тумблере в цепь подключается конденсатор. Он будет периодически заряжаться от генератора импульсов и разряжаться через резистор R. На экране осциллографа можно наблюдать, как при этом меняется напряжение на конденсаторе.
Упражнение 1.
Установите тумблер в положение "Упр. 1", многопозиционный переключатель в положение "1". Включите вольтметр, настроенный на измерение постоянного напряжения. Его показания должны быть равны нулю, поскольку при данном положении переключателя выводы вольтметра "закорочены" и конденсатор полностью разряжен. Включите цифровой миллиамперметр. На магазине сопротивлений установите R = 5 кОм = 5 000 Ом, на источнике питания - напряжение E = 2 В и включите его.
Установите переключатель в положение "2". Конденсатор начнет заряжаться от источника питания через сопротивление R: напряжение на конденсаторе будет постепенно увеличиваться, а ток зарядки конденсатора в момент переключения резко возрастет до максимального значения, а затем будет плавно уменьшаться по мере накопления заряда конденсатора. Переходной процесс завершится, когда напряжение на конденсаторе почти перестанет меняться, приблизившись к значению, равному ЭДС источника, а ток зарядки практически прекратится. Пронаблюдайте переходной процесс, следя за показаниями вольтметра и миллиамперметра. Оцените длительность переходного процесса, измерив время, за которое напряжение на конденсаторе увеличивается от 0 до 1,8 В (большая точность при этих измерениях не нужна).
Переведите переключатель в положение "3": источник ЭДС будет отключен от конденсатора, и накопленный на его обкладках заряд будет оставаться практически неизменным. Слабое его уменьшение со временем (уменьшение показаний вольтметра) обусловлено медленной разрядкой конденсатора через очень большое (несколько МОм) сопротивление вольтметра. Установите переключатель в положение "4", и конденсатор начнет разряжаться через магазин сопротивлений R. Обратите внимание на смену направления (знака) тока. В рабочей тетради изобразите качественный (примерный) вид кривых U(t) и I(t) при зарядке-разрядке конденсатора.
Повторите наблюдения процессов зарядки и разрядки конденсатора при R = 2,5 кОм. Обратите внимание на сокращение длительности переходных процессов.
Определите емкость конденсатора "прямым методом", воспользовавшись определением этой величины
C = q/U .
Для этого следует измерить зависимость тока зарядки конденсатора от времени I(t), и затем рассчитать накопленный за время заряд по формуле . Чтобы упростить расчеты, измерения можно провести в таких условиях, когда ток зарядки I(t) изменяется слабо. В этом случае
.
Установите переключатель в положение "1" , напряжение источника питания 9 В, сопротивление магазина R = 100 кОм. Переведите переключатель в положение "2", зафиксируйте начальный ток I0, через время t = (2-3) мин измерьте ток I(t) и сразу же переведите переключатель в положение "3". Запишите показания вольтметра U. Рассчитайте емкость конденсатора. Повторите измерения и расчеты для R = 75 кОм и R = 50 кОм.
Измерьте зависимость U(t) в процессе разрядки конденсатора при фиксированном сопротивлении R (рекомендуется R = 50 кОм). В случае необходимости следует подзарядить конденсатор до напряжения U0 = (2 - 4) В, подключив его на некоторое время к источнику напряжения (переключатель в положении "2"). Переведите переключатель в положение "4" и через каждые одну-две минуты записывайте показания вольтметра U(t). Измерения следует выполнять в течение 10 - 15 минут. По результатам измерений постройте график зависимости ln[U0/U(t)] от времени. Согласно теории эта зависимость должна быть линейной
ln[U0/U(t)] = t/ t/RC.
По угловому коэффициенту графика определите емкость конденсатора. Сравните ее с полученным в п.4 значением.
Упражнение 2
В этом упражнении исследуется процесс релаксации заряда конденсатора емкостью C = 0,1 мкФ. В технике широко используются конденсаторы и еще меньшей емкости. Постоянная времени для такого конденсатора даже при R = 1 МОм = 106 Ом составляет доли секунды. Поэтому процессы зарядки и разрядки происходят настолько быстро, что исследовать эти процессы визуально при помощи обычных вольтметров и амперметров, как это было сделано в упражнении 1, не удается. Для наблюдения быстропротекающих процессов в электрических цепях используется электронный осциллограф.
Источник питания, вольтметр и цифровой миллиамперметр выключите. Установите тумблеры на измерительном стенде в положения "Упр.2" и "Выкл.". Сопротивление магазина установите равным R = 1000 Ом.
На осциллографе переключатель "TIME/DIV" установите в положение 0,2 мс. При этом каждое большое деление по горизонтальной оси экрана осциллографа будет соответствовать временному интервалу 0,2 мс. Переключатель "V/DIV" установите в положение 0,5. Тогда каждое деление по вертикальной оси осциллографа будет соответствовать напряжению 0,5 В. Этим задается масштаб по координатным осям на экране осциллографа. При необходимости масштаб можно изменить. Включите осциллограф.
На генераторе установите частоту следования прямоугольных импульсов f = 103 Гц (переключатель "FACTOR" - "множитель" в положении 102, переключатель "FREQUENZ" - в положении 10). Включите генератор и ручку "AUSGANG" ("Выход") установите в среднее положение. Этой ручкой регулируется амплитуда импульсов напряжения.
На экране осциллографа Вы должны наблюдать прямоугольные импульсы напряжения на резисторе R, период повторения и амплитуда которых определяются установками генератора. Убедитесь в этом, меняя положения переключателя "FREQUENZ" и ручки "AUSGANG". Зная масштаб по оси времени на экране осциллографа, измерьте период повторения импульсов. Он должен совпасть со значением, вычисленным по формуле T = 1/f , где f - частота , установленная на генераторе. Меняя масштаб по оси времени переключателем "TIME/DIV", можно "растянуть" картинку и более детально пронаблюдать передний или задний фронт импульса.
Тумблер на стенде переведите в положение "Вкл." При этом в схему подключается конденсатор. Полупроводниковый диод обладает малым сопротивлением при одном направлении тока (происходит зарядка конденсатора) и очень большим сопротивлением при противоположном направлении тока. Поэтому конденсатор разряжается не через диод, а через резистор R (его роль выполняет магазин сопротивлений). На экране Вы будете наблюдать зависимость напряжения на конденсаторе от времени при зарядке-разрядке конденсатора. Постоянную времени разрядки конденсатора следует измерить при помощи осциллографа. Для этого можно определить время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшается в e раз. По результатам таких измерений определите емкость конденсатора. Повторите измерения для R = 5 кОм. Определите погрешность измерений.
Подготовка к работе
Физические понятия, величины, явления, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:
электрический ток
сила тока
электрическое напряжение
закон Ома
электродвижущая сила
емкость конденсатора
энергия заряженного конденсатора
закон Джоуля-Ленца.
Приведите в конспекте подробный вывод всех соотношений "Теоретической части" работы.
Изучите экспериментальную часть работы. Приведите в конспекте электрические схемы измерений в упражнениях 1 и 2.
Расчетное задание.
На рис.1 C = 5000 мкФ, E = 2 В, R = 5 кОм. Рассчитайте зависимости от времени напряжения на конденсаторе U(t) и тока его разрядки I(t) после переключения ключа в момент t = 0. Постройте графики этих зависимостей для 0 < t < 100 c. Постройте также графики U(t) и I(t) для R = 10 кОм.
Для указанных выше параметров рассчитайте зависимости U(t) и I(t) для переходного процесса зарядки конденсатора от источника ЭДС через резистор R. Постройте графики этих зависимостей.
Литература
И.В. Савельев. Курс физики. Т.2. § 20, 24-26.
C.Г. Калашников. Электричество. § 74.
1
Рис. 1