Сборник задач по курсу "Физические основы проектирования оборудования" / Гусев_Задачник ФОПОМ.doc

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный институт электронной техники

(Технический университет)

В.В.Гусев

Сборник задач
по курсу «Физические основы проектирования оборудования»

Утверждено редакционно-издательским советом института

Москва 2001

УДК 621.3.049.77.002.5 (07)

Рецензент докт. техн. наук, проф. В.З.Гребенкин.

Гусев В.В. Сборник задач по курсу «Физические основы проектирования оборудования». - М.: МИЭТ, 2001. - 48 с.

Настоящий сборник задач подготовлен на основе семинарских занятий, проведенных для студентов III курса факультета электронных технологий, материалов и оборудования (ЭТМО) МИЭТ. Представленные в нем характерные задачи снабжены ответами и методическими указаниями по их решению и размещены в соответствии с главами и разделами конспекта лекций - учебного пособия «Физические основы проектирования оборудования» (авторы В.В.Гусев и В.К.Самойликов), изданного в МИЭТ в 1999 г. Задачник является дополнением к этому пособию. Он поможет на расчетных примерах усвоить учебный материал и грамотно составлять алгоритмы элементов современного технологического оборудования и электромеханического оборудования бытового назначения.

Предназначен для студентов инженерно-конструкторских и технологических специальностей вузов.

© МИЭТ, 2001

Глава 1. Основные понятия и законы теплообмена

§ 1.1. Основные понятия и законы

Задача 1.1.1. Вычислить площадь теплового потока через плоскую стену, толщина которой значительно меньше ширины и высоты h = 2,5 м, если потери тепла через нее составляют Q = 165 кВт.

Ответ: q = 220 Вт/м².

Указания к решению: тепловая нагрузка q (плотность теплового потока) рассчитывается по формуле для тонкой пластины.

Задача 1.1.2. Электронагреватель из нихромовой проволоки диаметром d = 2 мм и длиной l = 10 м обдувается воздухом с температурой t_ж = 20 °C.

Вычислить тепловой поток с одного погонного метра нагревателя, а также температуру на поверхности проволоки, если сила тока I = 24 А, а коэффициент теплоотдачи к среде задан α = 45 Вт/м²⋅°С.

Ответ: q­­_l = 270 Вт/м; t_c = 447 °С.

Указания к решению: взять из справочника ρ_{нихрома} = 1,1 Ом⋅мм²/м, λ = 17,5 Вт/м⋅°С.

Тепловой поток с погонного метра нагревателя равен

; .

Для определения температуры на поверхности нагревателя воспользуемся формулой .

Задача 1.1.3. Найти плотность теплового потока q и градиент температуры в тонкой кремниевой пластине, если ее толщина составляет δ = 0,5 мм, а температура на поверхностях t_c1 = 210 °С, t_c2 = 210 °С соответственно.

Ответ:  grad t = 5 · 10³ °С/м, q = 7,2 ⋅ 10⁵­­­­ Вт/м².

Указания к решению: для линейной зависимости температуры в тонкой пластине

,

плотность теплового потока определяется законом Био-Фурье , теплопроводность кремния λ = 145 Вт/м⋅°С (из справочника).

§ 1.2. Теплофизические параметры и расчетные коэффициенты

Задача 1.2.1. Рассчитать коэффициенты температуропроводности a при постоянном объеме или давлении для нержавеющей стали, воды и воздуха, для нормальных атмосферных условий, а также кинематическую вязкость υ для воды и воздуха при тех же условиях. Убедиться, что их размерности одинаковы.

Ответ: a_сталь = 6⋅10^-6 м²/c; a_вода = 13⋅10^-8 м²/c; a_воздух = 19⋅10^-6 м²/c; υ_вода = 1,8⋅10^-6 м²/c; υ_воздух = 13⋅10^-6 м²/c.

Указания к решению: найти в справочнике коэффициенты теплопроводности λ, теплоемкость С_v или С_p (в Дж/кг), плотность ρ, динамическую вязкость μ (в кг/м⋅с) для соответствующих температуры и давления. Провести расчеты по формулам , .

Задача 1.2.2. Рассчитать коэффициент теплоотдачи поверхности α, если тепловая мощность, отводимая от поверхности, Q составляет 15 кВт, площадь поверхности 50 дм², ее температура 550 °С, а температура воздуха 20 °С.

Ответ: α = 57 Вт/м²⋅c.

Указания к решению: при решении используется закон Ньютона-Рихмана q = α( t_с - t_ж ), где α - расчетный коэффициент, а не физический параметр:

.

Глава 2. Простейшие стационарные процессы теплопроводности

§ 2.1. Случай тонкой пластины

Задача 2.1.1. Определить потери тепла через кирпичную стену длиной l = 5 м, высотой h = 3 м и толщиной δ = 0,25 м, если температура внешней поверхности t_с2 = 4 °С, температура внутренней поверхности t_с1 = 25 °С.

Ответ: Q ≈ 970 Вт.

Указания к решению: выбрать из справочника для температуры, средней между t_с1 и t_с2, теплопроводность кирпича: λ = 0,77 Вт/м⋅°С. Плотность теплового потока берется как отношение температурного напора к внутреннему термическому сопротивлению:

,

и из соотношения определить потери тепла Q.

Задача 2.1.2. В тех же условиях рассчитать потери тепла, если стена состоит из трех слоев: кирпича, утеплителя и бетона, толщины которых равны соответственно: δ₁ = 0,15 м, δ₂ = 0,1 м, δ₃ = 0,1 м. Определить температуры на границах слоев теплоизоляции t_сi.

Ответ: Q ≈ 150 Вт, т.е. потери существенно ниже, чем в задаче 2.1.1; t_с2 ≈ 24 °C, t_с3 ≈ 5,5 °C.

Указания к решению: коэффициенты теплопроводности λ_i берутся из справочника: λ₁ = 0,77 Вт/м⋅°С; λ₂ = 0,055 Вт/м⋅°С; λ₃ = 1,28 Вт/м⋅°С. Решение проводится аналогично решению задачи 2.1.1 с тем отличием, что при нахождении плотности теплового потока используется полный температурный напор и полное термическое сопротивление как сумма термических сопротивлений каждого слоя:

.

Температура на границах слоев определяется из условия :

,

где R_Ti - внутреннее термическое сопротивление слоя.

Задача 2.1.3. В технологической печи внутренняя температура 1400 °С, наружная 35 °С. Футеровка печи сделана из огнеупорного кирпича, ее толщина 0,1 м. Слой асбеста составляет 0,05 м. Кожух печи - стальной лист толщиной 0,01 м. Площадь поверхности печи 10 м².

Определить мощность нагревателя для такой печи W, если конструкция печи - близкие к тонкой стенке элементы.

Ответ: W ≥ Q = 4100 Вт.

Указания к решению: мощность нагревателя в рабочем режиме компенсирует тепловые потери, т.е. их необходимо рассчитать аналогично предыдущей задаче. Коэффициенты теплопроводности выбрать при средней температуре слоев методом последовательных приближений.

Задача 2.1.4. В диффузионной термической установке кремниевые пластины располагаются на нагревателе, имеющем форму плоской пластины длиной l = 1,5 м, шириной h = 0,3 м, толщиной δ = 5⋅10^-3 м. Материал, из которого выполнен нагреватель, - графит. Электрические параметры нагревателя в рабочем режиме: I = 150 A, U = 100 В. Рабочая температура на поверхности нагревателя t_с1­ = 1100 °С, температура на нижней поверхности t_с2 = 400 °С.

Определить максимальную температуру нагревателя и наибольший градиент температуры.

Ответ: , .

Указания к решению: взять из справочника λ_{графита} =
= 163 − 0,041t Вт/м⋅°С.

Определить мощность внутренних источников тепла:

; .

Решение выполнить для случая тонкой пластины с внутренними источниками в форме безразмерной температуры:

,

где λ выбирается для средней температуры.

Найти безразмерную координату, соответствующую максимуму температуры.

Наибольший безразмерный градиент равен:

.

Задача 2.1.5. Определить стационарное поле температур в тонкой пластине при наличии внутренних источников тепла и симметричных граничных условий третьего рода. Известна толщина пластины δ, теплопроводность λ, коэффициент теплоотдачи с поверхности α, температура среды t_ж и мощность внутренних источников тепла q_V.

Ответ: .

Указания к решению:

; .

Уравнение теплопроводности имеет вид:

  ⇒  .

Граничные условия имеют вид:

, так как  ;

; ;

; ;

.

Из последнего выражения найти С₂ и окончательно определить вид функции t(x):

;

перейдя к разностной температуре t(x) - t_ж, можно получить:

.

Делением на комплекс , имеющий размерность температуры, получается безразмерное температурное поле в пластине:

.

Задача 2.1.6. Решено уменьшить в два раза толщину слоя огнеупорного кирпича в стенке технологической печи, рассмотренной в задаче 2.1.3, а между слоями поместить слой засыпки из диатомитовой крошки, имеющей коэффициент теплопроводности λ_{диатомита} =
= 0,133 + 0,00023t Вт/м⋅°С.

Какой нужно сделать толщину засыпки, чтобы при той же температуре на внешних поверхностях стенки, что и в задаче 2.1.3, потери тепла остались неизменными?

Ответ: толщина диатомитовой засыпки 94 мм.

Указания к решению: cначала рассчитывают тепловую нагрузку по условиям задачи 2.1.1, затем температуру на границах диатомитовой засыпки и красного кирпича. Из рассчитанной температуры на границах засыпки находят среднее значение теплопроводности диатомитовой засыпки, исходя из которого - толщину засыпки. Используют расчетные формулы для пакета тонких пластин из задачи 2.1.2.

Задача 2.1.7. В приборе для определения коэффициента теплопроводности материалов между горячей и холодной плоскими поверхностями расположен образец испытуемого материала. Образец представляет собой пластину диаметром 120 мм и толщиной 20 мм. Температура горячей поверхности t_с1 = 180 °C, холодной поверхности t_с2 = 30 °C. Тепловой поток через образец после установления стационарного процесса Q = 50,6 Вт. Благодаря защитным нагревателям радиальные потоки отсутствуют. Вследствие плохой пригонки между холодной и горячей поверхностями и пластиной образовались воздушные зазоры толщиной δ_в = 0,1 мм.

Какова относительная ошибка в определении коэффициента теплопроводности, если при обработке результатов измерений не учитывать образовавшихся зазоров? Коэффициент теплопроводности воздуха в зазорах отнести к температурам соответствующих поверхностей t_с1 и t_с2.

Ответ: относительная ошибка в определении λ составит Δ_λ ≈ 21%.

Указания к решению: относительная ошибка представляет собой разницу между двумя рассчитанными значениями λ (при наличии зазоров и в их отсутствии), отнесенного к коэффициенту теплопроводности, рассчитанному с учетом наличия воздушных зазоров. При этом используется формула для пакета тонких пластин из задачи 2.1.2, а воздушные зазоры считаются также тонкими пластинами.

Задача 2.1.8. Плоская стенка площадью F = 5 м² покрыта двухслойной тепловой изоляцией. Стенка стальная, ее толщина δ₁ = 8 мм, коэффициент теплопроводности λ₁ = 46,5 Вт/м⋅°С. Первый слой изоляции из асбеста толщиной δ₂ = 50 мм, коэффициент теплопроводности которого определяется уравнением: λ₂ = 0,144 + 0,00014t Вт/м⋅°С. Второй слой изоляции толщиной δ₃ = 10 мм представляет собой обмазку на основе глинозема, коэффициент теплопроводности которой λ₃ = 0,698 Вт/м⋅°С. Температура внутренней поверхности стенки t_с1 = 250 °C, а внешней поверхности изоляции t_с4 = 50 °C.

Вычислить количество тепла, передаваемого через стенку, температуры на границах слоев изоляции и построить график распределения температуры.

Ответ: тепловой поток через стенку Q = 3170 Вт, температуры на границах слоев теплоизоляции t_с2 = 249 °C и t_с3 = 59 °C.

Указания к решению: для расчета t_сi применяют формулы задачи 2.1.2 (для пакета тонких пластин), используя понятие среднего значения коэффициента теплопроводности λ_ср.

Задача 2.1.9. Плоская стена неэкранированной топочной камеры парового котла выполнена из слоя пеношамота толщиной δ₁ = 125 мм и слоя красного кирпича толщиной δ₂ = 500 мм. Слои плотно прилегают один к другому. Температура на внутренней поверхности топочной камеры t_с1 = 1100 °C, а на наружной поверхности t_с3 = 50 °C. Коэффициент теплопроводности пеношамота λ₁ = 0,28 + 0,00023t Вт/м⋅°С, а красного кирпича λ₂ = 0,7 Вт/м⋅°С.

Вычислить тепловые потери через 1 м стенки топочной камеры и температуру в плоскости соприкосновения слоев.

Ответ: тепловые потери q = 1090 Вт/м², температура t_с2 = 828 °C.

Указания к решению: для расчета используют формулы для пакета тонких пластин задачи 2.1.2, коэффициенты теплопроводности выбирают для средних температур слоев методом последовательных приближений.

§ 2.2. Задачи для стенки тонкой трубы

Задача 2.2.1. По теплоизолированной трубке передается от испарителя к реактору парогазовая смесь с температурой t_ж1 = 100 °C, t_конд = 95 °С. Внутренний диаметр трубки d₁ = 18 мм, внешний d₂ = 20 мм. Трубка изолирована листовым асбестом толщиной 2 мм.

Сравнить тепловые потери от трубки в окружающую среду для вариантов:

а) трубка без изоляции;

б) трубка изолирована асбестом.

Ответ: при изоляции асбестом потери возрастают, а не уменьшаются: .

Указания к решению: выбрать из справочника λ, предварительно рассчитав α и приняв, что температура окружающей среды t_ж2 - комнатная: λ_асб = 0,15 Вт/м⋅°С; λ_ст = 16 Вт/м⋅°С при t = 90 °С; α₂ = 8 Вт/м²⋅°С, α₁ = 100 Вт/м²⋅°С, t₂ = 20 °C.

Определить критический диаметр и потери по формулам стенки тонкой трубы:

;

;

.

Задача 2.2.2. Стальная трубка с диаметрами d₁ = 100 мм и d₂ = 110 мм покрыта изоляцией в два слоя: δ₂ = δ₁ = 50 мм. Температура внутренней поверхности трубы t_с1 = 250 °С, температура внешней поверхности t_с4 = 50 °С. Найти потери тепла через изоляцию с одного погонного метра трубы и определить температуру на границе соприкосновения слоев изоляции, если первый слой изоляции, покрывающий поверхность трубы, имеет теплопроводность λ₂ = 0,06 Вт/м⋅°С, а второй слой - λ₃ = 0,12 Вт/м⋅°С (λ_стали = λ₁ = 50 Вт/м⋅°С).

Сравнить потери, поменяв местами слои изоляции.

Ответ: потери q_l ≈ 90 Вт/м, t_c3 ≈ 96 °C; для второго случая потери тепла составили 105 Вт, а температура на границе слоев увеличилась до 159 °С, т.е. первый вариант предпочтительнее.

Указания к решению: использовать формулу для многослойной цилиндрической стенки:

.

Тепловые потери с одного погонного метра трубы q_l равны:

, , ;

а температура на границе t_c3:

.

Аналогично, если поменять местами слои теплоизоляции.

Задача 2.2.3. Электропровод диаметром d₁ = 1,5 мм имеет на своей поверхности температуру t_с1 = 70 °С. Он охлаждается потоком воздуха при естественной конвекции. Температура воздуха t_ж2 = 15 °С. Коэффициент теплоотдачи от провода к воздуху α₂ = 16 Вт/м²⋅°С.

Определить температуру поверхности провода t_с1′, если он покрыт резиновой изоляцией толщиной δ = 2 мм, а α₂′ = 8,2 Вт/м²⋅°С.

Ответ: температура понижается до t_с1′ = 50 °С.

Указания к решению: критический диаметр для этого случая равен .

Тепловая нагрузка для обоих случаев одинакова, так как по проводу проходит одинаковый ток . Составить систему уравнений:

;

;

.

Задача 2.2.4. Железобетонная дымовая труба внутренним диаметром d₁ = 800 мм, наружным d₂ = 1300 мм должна быть футерована внутри огнеупорным материалом.

Определить толщину футеровки δ и температуру наружной поверхности трубы при условии, что тепловые потери с одного погонного метра тубы не превысят 2000 Вт/м, а температура внутренней поверхности составляет 425 °С. Теплопроводность футеровки и железобетона соответственно λ₁ = 0,5 Вт/м·°С, λ₂ = 1,1 Вт/м·°С.

Ответ: толщина футеровки δ ≈ 120 мм, температура наружной поверхности t_с3 ≈ 60 °С.

Указания к решению: использовать формулу для цилиндрической стенки без учета внешних термических сопротивлений:

; .

Подставив d₂ = d₁ + 2δ, определить δ:

, где ;

.

§ 2.3. Теплопроводность в тонких длинных стержнях

Задача 2.3.1. Температура газа в реакционной камере измеряется термопарой, которая помещена в гильзу (медную или стальную трубку), заполненную маслом. Термопара показывает на конце гильзы температуру, равную 300 °C.

Оценить погрешность измерения, возникающую за счет отвода тепла от медной гильзы путем теплопроводности, если температура у основания гильзы 40 °C, длина 120 мм, толщина стенки гильзы 1,5 мм, коэффициент теплоотдачи от газа к гильзе α = 25 Вт/м⋅°С. Оценить потери тепла по этой гильзе и истинную температуру газа.

Ответ: погрешность измерения с медной гильзой составляет 200%, со стальной - около 20%.

Указания к решению: погрешность измерения - разность Δt(l) между истинной температурой среды и температурой конца гильзы, измеряемой термопарой, - рассчитывается по формуле для длинного тонкого стержня:

,

где

; ; .

Произвести расчет потерь тепла для случая, когда термопара помещена в медную гильзу, используя закон Био-Фурье:

, ;

,

,

, следовательно,

;

.

Задача 2.3.2. Рассчитать потери тепла по стальному штоку диаметром 50 мм и длиной 100 мм при условии, что температура внутри камеры 900 °C, коэффициент теплоотдачи α = 25 Вт/м²·°С, температура у его основания 40 °С.

Ответ: потери около 300 Вт.

Указания к решению: используя решение задачи 2.3.1, получить:

, .

Задача 2.3.3. Для охлаждения внешней поверхности полупроводникового устройства внешняя поверхность его боковых стенок выполнена ребристой с вертикальными алюминиевыми ребрами. В плане устройство квадратное, ширина его боковых стенок b = 800 мм, высота h = 1000 мм, высота и ширина ребер соответственно равны l = 30 мм, δ = 3 мм. Каждая стенка имеет 40 ребер. Температура у основания ребра t₀ = 30 °C, температура окружающей среды t_ж = 20 °C, коэффициент теплопроводности алюминия λ = 200 Вт/м·°С, коэффициент теплоотдачи к окружающему воздуху α = 7 Вт/м²·°С.