Лабораторная работа №3 / LAB3.DOC

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный институт электронной техники

(Технический университет)

Кафедра общей физики

В.П.РОМАНОВ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИЗУЧЕНИЕ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА ПРИМЕРЕ ИХ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ

Лабораторный практикум по курсу общей физики

“МЕХАНИКА”

Москва - 2001

Лабораторная работа № 3

Изучение равноускоренного движения тел на примере их свободного падения в поле тяготения Земли

Цель работы: используя законы механики Ньютона, теоретически найти временную зависимость перемещения тела в поле тяготения Земли и экспериментально убедиться в справедливости полученных теоретических результатов.

Оборудование: установка, включающая штангу с закрепленными на ней электромагнитом и двумя фотодатчиками, стальной шарик, электронный миллисекундомер и миллиметровую линейку.

Основные положения теории

Рассмотрим свободное падение тела массы в поле тяготения Земли вблизи ее поверхности. В этом случае в системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует сила тяжести , которая включает силу тяготения , обусловленную гравитационным взаимодействием тела с Землей, и центробежную силу инерции , обусловленную суточным вращением Земли, т.е. (рис. 1). Следует отметить, что на тело, кроме указанных сил, действуют и другие силы, например, связанные с взаимодействием тела с Солнцем, Луной и другими космическими объектами, а также действуют силы инерции, такие как сила инерции Кориолиса, обусловленная движением тела во вращающейся системе отсчета, и силы инерции, обусловленные вращением Земли вокруг Солнца. Однако, в нашем случае эти силы по модулю значительно меньше сил и и поэтому не учитываются.

В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона силу притяжения можно записать в виде

, (1)

где  - гравитационная постоянная;  - масса Земли; - радиус Земли;  - высота;  - единичный вектор (), направленный к центру массы Земли.

Выражение для центробежной силы инерции имеет вид

, (2)

где  - угловая скорость вращения Земли;  - радиус-вектор, определяющий положение тела относительно оси вращения Земли.

В связи с малостью численного значения скорости вращения Земли (= 7,27·10^-5 рад/с) центробежная сила инерции по модулю гораздо меньше силы притяжения () и в нулевом приближении ею можно пренебречь. Тогда можно считать приближенно, что сила тяжести равна силе притяжения (). Тот факт, что при решении нашей задачи можно не учитывать действие силы инерции, дает возможность считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной. Это позволяет для описания движения тела использовать законы Ньютона.

Запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения тела:

, (3)

где  - ускорение тела.

Из (3) следует, что

. (4)

Будем рассматривать случай, когда тело находится на высоте над поверхностью Земли, много меньшей радиуса Земли (). Тогда (4) приближенно можно записать в виде

. (5)

Величину обычно обозначают и называют ускорением свободного падения:

. (6)

Анализ соотношений (5) и (6) показывает, что ускорение, с которым будет двигаться тело в поле тяготения Земли, равно ускорению свободного падения, а именно .

Известно, что при равноускоренном движении модуль вектора ускорения и его направление в пространстве не должны изменяться в процессе движения. В нашем случае, строго говоря, это может иметь место только при движении тела вдоль радиальной прямой, проходящей через центр массы Земли.

Из (5) и (6) с учетом, что , где  - скорость и  - время, непосредственно следует

. (7)

Интегрируя (7) с начальным условием (см. рис. 2а), получим

. (8)

Учитывая, что , где  - элементарное перемещение, уравнение (8) преобразуем к виду

. (9)

Интегрируя (9) с учетом начального условия (см. рис. 2б), будем иметь

, (10)

где и  - векторы, характеризующие положение тела в начальный момент времени и в момент времени соответственно.

Разность векторов называется перемещением тела за время , которое в соответствии с (10) можно записать следующим образом:

. (11)

Векторы , и направлены вдоль оси . Следовательно, движение тела будет одномерным. В этом случае, проектируя перемещение тела (11) на ось , получим

. (12)

Отношение перемещения к промежутку времени , за который произошло это перемещение, определяет среднюю скорость тела :

. (13)

Анализ выражения (13) показывает, что средняя скорость линейно зависит от времени перемещения тела, причем удвоенное значение коэффициента наклона прямой равно ускорению свободного падения, а значение свободного члена равно начальной скорости. Этот результат теоретического исследования может быть положен в основу экспериментального определения значений данных физических величин.

Описание экспериментальной установки

Механическая часть установки для экспериментального изучения движения тел в поле тяготения Земли схематично представлена на рис. 3. Она состоит из массивного штатива (1), на котором с помощью кронштейнов крепятся электромагнит (3) и два фотодатчика (5). Электромагнит служит для удержания стального шарика (4), параметры движения которого изучаются в данной работе при его свободном падении. Для тонкой регулировки положения электромагнита, а следовательно и шарика, относительно верхнего фотодатчика служит винт (2). Кронштейны с фотодатчиками могут перемещаться по штанге штатива. Фиксация положения кронштейнов осуществляется с помощью винтов (6).

Измерение времени проводится с помощью электронного миллисекундомера, соединенного с двумя фотодатчиками и магнитом. При нажатии кнопки «Пуск» на передней панели миллисекундомера ток в цепи электромагнита прерывается и шарик перестает удерживаться электромагнитом. При падении шарик пересекает лучи света, направленные на фотодатчики, при этом верхний фотодатчик включает миллисекундомер, а нижний фотодатчик его выключает. Таким образом измеряется время пролета шарика между фотодатчиками. Подготовка миллисекундомера к очередному измерению происходит при нажатии кнопки «Сброс».

Порядок выполнения работы

Упражнение 1 (Выполняется дома при подготовке к лабораторному занятию).

1. Показать, что систему отсчета, связанную с Землей при анализе свободного падения тела можно приближенно считать инерциальной. С этой целью рассчитать значение силы тяготения (), максимальное значение центробежной силы инерции () и значение силы тяжести (). Оценить в процентном отношении максимальное отличие значений силы тяготения и силы тяжести (). Расчеты провести при следующих значениях физических параметров:
= 6,67·10^-11 м³/(кг·с²), = 1,00 кг, = 5,98·10²⁴ кг, = 6,37·10⁶ м, = 7,27·10^-5 рад/с.

2. Рассчитать в соответствии с формулой (6) значение ускорения свободного падения. Результат записать, сохранив три значащие цифры.

3. Ответить письменно, аргументированно и кратко на следующие вопросы:

а) можно или нельзя считать движение спутника Земли по круговой орбите его свободным падением в поле тяготения Земли;

б) объяснить почему расстояние между спутником и Землей при его движении по круговой орбите остается неизменным;

в) является или не является движение спутника Земли по круговой орбите равноускоренным?

Упражнение 2. Экспериментальное определение значений ускорения свободного падения и начальной скорости тела.

1. Провести измерения времен пролета шарика между двумя фотодатчиками, расположения которых указаны в таблице. Каждый студент выполняет измерения индивидуально в соответствии с выбранным вариантом. Положения верхнего и нижнего фотодатчиков отсчитываются от нижней точки шарика, удерживаемого электромагнитом, до центров фотодатчиков. Погрешность установки фотодатчика при использовании линейки с миллиметровыми делениями принять равной половине диаметра фотодатчика (±1,5 мм).

2. Рассчитать среднюю скорость движения шарика и ее погрешность для каждого положения нижнего фотодатчика.

3. В системе координат “средняя скорость - время” (“”) нанести найденные значения средней скорости, соответствующие определенным значениям времени пролета, и отложить погрешности в виде отрезков прямых.

4. Учитывая, что теория предполагает линейную зависимость между и (13), выяснить возможна ли линейная аппроксимация результатов измерений. Если да, то в пределах поля ошибок провести прямые с наибольшим и с наименьшим наклонами. В противном случае эксперимент выполнить заново. Найти среднее значение коэффициента наклона прямых и его погрешность. Затем рассчитать среднее значение и погрешность ускорения свободного падения. При записи значения сохранить три значащие цифры. Сравнить экспериментально найденное значение ускорения свободного падения с теоретически найденным при выполнении упражнения 1.

5. Экстраполируя прямые до пересечения их с осью при , найти значения начальной скорости шарика и ее погрешности.

6. Показать, что в условиях нашей задачи для нахождения начальной скорости может быть использована формула . Применяя эту формулу, найти значение начальной скорости шарика и сравнить его со значением , полученным при выполнении п.5 данного упражнения.

Таблица

Условия проведения эксперимента по изучению свободного падения тел

Список рекомендуемой литературы

1. Иродов И.Е. Основные законы механики. - М.: Высшая школа, 1978. - С. 10 - 16, 48 - 52.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Том 1. - М.: Наука, 1977. - С. 121 - 124.

1

10

0

Рис. 1. Силы, действующие на тело, в системе отсчета, связанной с Землей

Рис. 2. Схематическое изображение положения тела и его скорости в начальный момент времени и в момент времени t (а) и перемещения тела (б).

0

0

а

б

Рис. 3. Схематическое изображение установки.

6

5

4

3

2

1