Лабораторная работа №9 / LAB9.DOC

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 9.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПЛОСКОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО РАЗЛИЧНЫХ ОСЕЙ.

Цель работы: экспериментальное определение момента инерции тонкой плоскопараллельной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей с помощью трифилярного подвеса.

Оборудование: установка, миллиметровая линейка, секундомер.

Продолжительность: 4ч.

Описание установки. Теоретическая часть.

Момент инерции это величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением :

, (1)

где Δ m_i -элементарные массы тела, r_i - их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла:

, (2)

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от интересующей нас оси, ρ - плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Например,

для плоскопараллельной пластины можно получить следующую формулу для нахождения величины момента инерции относительно оси, перпендикулярной ее плоскости и проходящей через центр масс пластины:

, (3)

где m-масса, a и b-длины сторон пластины.

Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численными методами.

Экспериментально момент инерции тела можно определить, например, с помощью трифилярного подвеса. Трифилярный подвес, изображенный на рисунке 1, представляет собой круглую платформу,

Рис. 1. Трифилярный подвес.

подвешенную на трех симметрично расположенных нитях. Верхние концы нитей прикреплены к неподвижному диску, диаметр которого меньше диаметра платформы. Если на платформу положить тело и повернуть ее на небольшой угол вокруг вертикальной оси, то платформа начнет совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО′. Период этих колебаний зависит от момента инерции тела и платформы. Определив период, можно рассчитать момент инерции изучаемого тела.

Рассчитаем период малых крутильных колебаний платформы с помещенным на нее телом (тело на рисунке не изображено). При повороте платформы нити, на которых она подвешена, отклоняются от положения

равновесия, при этом возникает момент сил М относительно оси ОО′, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия.

На рисунке 2 платформа и одна из нитей подвеса АВ изображены в положении равновесия (штриховая линия) и в положении, когда платформа повернута на угол α (сплошная линия).

Рис.2. Платформа в состоянии равновесия и при повороте на угол α.

Движение платформы вокруг оси ОО′ описывается уравнением

Jα″= M, (4)

где J - момент инерции платформы и тела относительно этой оси, α″- ее угловое ускорение.

Период колебаний можно рассчитать из уравнения (4), но для этого надо знать зависимость момента сил М от угла поворота α.

На платформу действуют сила тяжести и силы натяжения трех нитей. Величина момента силы тяжести относительно оси ОО′ равна нулю. Найдем зависимость момента сил натяжения нитей относительно оси ОО′ от угла поворота α.

Рассмотрим сначала одну нить. Пусть сила ее натяжения равна Т. Момент этой силы М₁ относительно оси ОО′ равен произведению проекции силы на плоскость платформы Tsinϕ на плечо ОС, длина которого r равна расстоянию от оси вращения до точек крепления нитей на верхнем диске (см. рисунок 2),

. (5)

Из треугольников ΔСОА₁ и ΔСВА₁, у которых одна сторона СА₁ общая, следует, что

,

где R - расстояние от оси вращения до точки крепления нити на платформе, L-длина нити.

При малых колебаниях можно считать, что sinα≈α. В этом приближении последнее выражение принимает вид:

. (6)

Тогда из уравнений (5) и (6) следует, что момент силы натяжения нити равен:

.

При малых углах поворота платформы можно считать, что

(7)

и

(8)

где т - масса платформы с грузом, Н - расстояние между верхним диском и платформой в состоянии равновесия.

Учитывая, что момент натяжения всех нитей М втрое больше М₁, а также (7) и (8), получим:

.

Перед тем как подставить полученное выражение для момента сил М в уравнение (4), нужно обратить внимание на то, что момент сил, возникающий при повороте платформы, стремится вернуть платформу в положение равновесия. Поэтому моменту сил М и угловому смещению α нужно приписать противоположные знаки, т.е.

. (9)

Тогда уравнение (4) с учетом (9) можно записать в виде:

.

Данное уравнение описывает гармонические колебания платформы

,

период которых равен:

.

Таким образом, зная параметры установки, и экспериментально определив период колебаний платформы Т, можно рассчитать момент инерции:

. (10)

Напомним, что в этой формуле R и r - расстояния от оси вращения до точек крепления нитей соответственно на платформе и верхнем диске.

Формула (10) может быть использована для определения величины момента инерции J₀ пустой платформы (в этом случае т - масса платформы) и величины момента инерции J₁ платформы с помещенным на нее телом (т - сумма масс платформы и тела). Зная J₁ и J₀, можно определить момент инерции тела J₂ относительно оси вращения платформы:

J₂=J₁- J₀ .

В данной работе определяются моменты инерции тонкой плоскопараллельной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке (рис.3). Если оси X и Y лежат в плоскости пластины, а ось Z перпендикулярна ей, то момент

Рис.3 Плоскопараллельная пластина.

инерции тонкой пластины относительно этих осей связаны соотношением:

(11)

Отметим, что это выражение справедливо для плоского тела любой формы. Докажем справедливость выражения (11). Если пластина тонкая, то можно считать, что все вещество распределено в плоскости XY, поэтому координаты z всех точек пластины равны нулю. Выделим в пластине материальную точку массой Δm_i (см. рис.3) с координатами (x_i, y_i,0). Моменты инерции этой точки относительно осей X, Y и Z равны соответственно:

, (12)

, (13)

. (14)

Сложим уравнения (12) и (13)

. (15)

Сравнивая правую часть выражения (15) с уравнением (14), получим

.

Просуммируем правую и левую части этого уравнения по всему объему пластины

.

Воспользовавшись определением момента инерции тела (1), получим:

,

что и требовалось доказать.

В работе проверяется справедливость соотношения (11).

Экспериментальная часть.

Упражнение 1. Определение момента инерции пустой платформы.

С помощью секундомера определите время 50 колебаний пустой платформы. Крутильные колебания сообщаются платформе поворотом верхнего диска при помощи рукоятки, связанной с ним. Этим достигается почти полное отсутствие других типов колебаний (некрутильных).

Рассчитав период колебаний и используя формулу (10), рассчитайте момент инерции пустой платформы J₀. Сравните полученное значение с теоретическим, рассчитанным по формуле :

,

где R₀ - радиус платформы.

Упражнение 2. Определение моментов инерции пластины и проверка соотношения (11).

Располагая пластину на платформе тремя различными способами, определите (так же, как и в упражнении 1) моменты инерции пластины с платформой. Вычитая из полученных значений величину момента инерции пустой платформы, рассчитайте моменты инерции пластины J_x, J_y и J_z. Сравните величину момента инерции пластины J_z с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (3).

Проверьте соотношение (11), которое должно выполняться в пределах погрешности.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

Т.2, § 64, 65.

1

2