Лабораторная работа №11 / LAB11.DOC

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 11.

НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Цель работы: изучение зависимости периода колебаний матема- тического маятника от угла отклонения.

Оборудование: установка, электронный миллисекундомер, ручной секундомер.

Продолжительность: 4ч.

Теоретическая часть.

В данной работе изучается зависимость периода колебаний математического маятника от угла отклонения. Математическим маятником называют тяжелое тело, подвешенное на легкой и нерастяжимой нити, размерами которого можно пренебречь по сравнению с длиной нити. На рисунке 1 изображен маятник, совершающий колебания в плоскости XY.

Отклонение маятника от положения равновесия можно характеризовать углом α, образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы

Рис.1. Силы, действующие на математический маятник при его

отклонении на угол α.

силы тяжести относительно точки подвеса О, равный по величине mglsinα (m - масса, l - длина нити маятника). Направление момента силы такое, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия. При этом проекции момента силы и углового смещения на ось Z имеют противоположные знаки (см. рис.1). Следовательно, выражение для проекции момента силы на ось Z имеет вид:

.

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив проекцию углового ускорения через и учитывая, что момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, равен ml², получим:

ml²α″ = -mglsinα.

Последнее уравнение можно привести к виду:

α″ +, (1)

где ω₀² =.

При малых значениях угла α можно линеаризовать это уравнение, заменяя в нем sinα на α. В результате получается:

,

Это уравнение описывает гармонические колебания:

с периодом

, (2)

не зависящим от амплитуды α_m колебания маятника.

Если же угол отклонения нельзя считать малым, т.е. в уравнении (1) sinα нельзя заменить углом α, колебания маятника будут негармоническими. Для нахождения периода таких колебаний перепишем уравнение (1) в виде:

, (3)

где

(4)

угловая скорость движения маятника.

Умножим и разделим левую часть уравнения (3) на

.

Преобразуем это уравнение с учетом (4) к виду:

. (5)

Рассматривая переход маятника из произвольного положения в крайнее верхнее, найдем с помощью уравнения (5) зависимость угловой скорости Ω движения маятника от угла отклонения α. Пусть в произвольный момент времени угол отклонения маятника равен α, а угловая скорость маятника в этот момент равна Ω.. В момент остановки угол отклонения маятника равен α_m, а угловая скорость равна нулю. Тогда интегрируя уравнение (5)

,

получим

. (6)

Решая совместно уравнения (4) и (6), находим

. (7)

Рассмотрим теперь переход маятника из равновесного положения в крайнее верхнее. В начальный момент времени t = 0 угол отклонения маятника α = 0. В конечный момент времени t = угол отклонения

α = α_m (Т - период колебаний). Интегрируя уравнение (7)

,

и учитывая, что , где Т₀ - период гармонических колебаний, определяемых уравнением (2), получим:

. (8)

Решая это уравнение, для периода колебаний получим следующее выражение:

. (9)

Вывод этой формулы приведен ниже в приложении.

Справедливость выражения (9) проверяется в данной работе. Однако (9) также как и (2) получены в предположении, что колебания незатухающие, т.е. нет потерь механической энергии. В реальных условиях на маятник кроме силы тяжести и силы натяжения нити действует сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорциональной скорости движения маятника.

Найдем, как эта сила влияет на период колебаний маятника. Действие силы сопротивления приводит к потере механической энергии и вместо незатухающих гармонических колебаний вида:

наблюдаются затухающие гармонические колебания, описываемые уравнением:

,

где - частота незатухающих колебаний, β-коэффициент затухания,

ω - частота затухающих колебаний, ϕ - начальная фаза колебаний.

Частоты ω и ω₀ связаны соотношением:

.

Возведя правую и левую части этого уравнения в квадрат, и учитывая что , получим:

.

После несложных преобразований это выражение можно привести к виду:

или

.

В реальных условиях колебания затухают слабо, поэтому можно считать с большой степенью точности, что и . С учетом этого последнее выражение можно преобразовать к виду:

. (10)

Таким образом, экспериментально измеряя зависимость периода колебаний от угла отклонения маятника, необходимо оценить, какой вклад в полученную величину периода вносит сила сопротивления воздуха.

В данной работе изучаются колебания маятника, который представляет собой стальной шарик, подвешенный на двух нитях, благодаря этому фиксируется плоскость колебаний. Снизу в шарик ввинчен штырь, пересекающий в ходе колебаний луч света фотодатчика.

Для определения периода колебаний в установке используется электронный секундомер, который устроен так, что он включается при первом пересечении маятником светового луча фотодатчика и выключается при третьем пересечении. Этим достигается измерение периода колебаний. Благодаря большой точности измерений периода, оказывается возможным измерить, в общем-то, несильную зависимость периода колебаний от угла отклонения.

Экспериментальная часть.

Упражнение 1. Оценка влияния сил сопротивления на период колебаний маятника.

В этом упражнении рассчитывается относительное изменение периода колебаний маятника , связанное с силой сопротивления воздуха. Для этого, как следует из уравнения (10), необходимо знать величины периода малых колебаний маятника Т₀ и коэффициента затухания β.

Для измерения Т₀ отклоните маятник на угол α < 5⁰ и отпустите его. Нажмите кнопку ″ Сброс″ и запишите показания миллисекундомера.

Коэффициент затухания β обратно пропорционален промежутку времени τ, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е 2.7)

, (11)

поэтому для определения β измерьте время τ. Для этого отклоните маятник на угол, например 27⁰, и с помощью ручного секундомера определите время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в е раз. С помощью уравнения (11) рассчитайте величину β.

Зная величины Т₀ и β, с помощью уравнения (10) рассчитайте относительное изменение периода колебаний.

Упражнение 2. Определение зависимости периода колебаний от угла отклонения маятника.

Измерьте периоды колебаний маятника Т для пяти значений угла отклонения α_m в диапазоне от 20⁰ до 40⁰. Для этого отклоните маятник и, убедившись, что он совершает колебания с нужной амплитудой, нажмите кнопку ″Сброс″ - произойдет измерение периода колебаний. Измерения провести не менее трех раз.

Для каждого значения угла рассчитайте относительное изменение периода колебаний (величину Т₀ возьмите из первого упражнения). Сравните полученные значения с относительным изменением периода, вычисленного в первом упражнении. Если эти значения одного порядка, найдите их разность. По результатам расчета постройте график зависимости от . Как следует из уравнения (9), эта зависимость должна быть линейной:

. (12)

Убедитесь в этом. Определите значение углового коэффициента прямой к оси ординат и сравните полученное значение с теоретическим, которое, как это следует из выражения (12), должно быть равно .

В том случае, если эти значения совпадают в пределах погрешности, можно сделать вывод о том, что полученная выше формула (9) справедлива.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Вывод формулы (9).

Найдем приближенное решение уравнения (8):

. (13)

Воспользовавшись разложением cos α в ряд:

,

и ограничиваясь тремя членами этого разложения, для разности косинусов

получим следующее выражение:

.

Тогда подинтегральная функция принимает вид:

. (14)

Разложим второй множитель в правой части этого уравнения в ряд:

. (15)

Подставляя (14) и (15) в (13), получим:

. (16)

Интегралы, стоящие в правой части этого уравнения, табличные и они равны соответственно:

.

Подставляя значения интегралов в (16), получаем:

.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. САВЕЛЬЕВ И.В. Курс физики. М., Наука, 1989, т.2, § 64, 65.

1

6