Движение в магнитном поле / kursach.doc

Оглавление

ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Введение

В данной работе мы рассмотрим движение частиц в магнитном поле.Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивиским эффектом,и его учёт требует последовательной релятивиской теории.

В отличие от классической теории,в магнитном поле собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с этим полем.,что и будет рассмотрено в данной курсовой работе.

§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле

Частица со спином обладает определенным «собственным» магнитным моментом m .Соответствующий ему квантово-механический оператор пропорционален оператору спина ŝ т. е. может быть записан в виде

(111.1)

где s — величина спина частицы, а m — характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны m _z =mσ/s. Отсюда видно, что коэффициент m (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение m, достигаемое при проекции спина σ = s.

Отношение m/ħs дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси z). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно е/2тс. Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен — ‌ е ‌ /тc, т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака . Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, -m _B, где

(111.2)

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как eħ/2m_pc, где m_p — масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины m, и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру; обе являются аксиальными векторам .Аналогичное же равенство для электрического дипольного момента d (d = const·s ) противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид

где φ — скалярный, А — векторный потенциал поля, a р — обобщенный импульс частицы . Если частица не обладает спином, то переход к квантовой механике производится обычным

образом: обобщенный импульс надо заменить оператором p =-iħ∇, и мы получим гамильтониан

Ĥ(111.3)

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3)

дополнительного члена -mН, соответствующего энергии магнитного момента m в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид

Ĥ (111.4)

При раскрытии квадрата (p ─ )² надо иметь в виду, что оператор р, вообще говоря, не коммутативен с вектором A, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать

Ĥ (111.5)

Согласно правилу коммутации оператора импульса с любой функцией координат имеем:

pA─ Ap=-iħ divA (111.6)

Таким образом, p и А коммутативны, если div A = 0. Это, в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде

A= [Hr] (111,7)

Уравнение iħ ∂Ψ/∂t = ĤΨ с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, — симметричные спиноры ранга 2s.

Волновые функции частицы в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно, последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

A→A+∇f , φ→φ─ (111.8)

где f — произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат | Ψ |². Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно

Ψ→Ψ exp (111.9)

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан c её скоростью соотношением mv = p─eA/c . Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор r с гамильтонианом. Простое вычисление приводит к результату

mv = p─ (111.10)

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации

{ V_x ,V_y }=i {V_y,V_z}=i

{V_z,V_x}= i (111.11)

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит , что уравнение Шредингера Ĥψ = Eψ должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4),

за исключением члена ─ ŝH, это непосредственно очевидно. Член же ─ ŝHψ в уравнении Шредингера переходит при указанном преобразовании в ŝ*Hψ*, и на первый взгляд нарушает требуемую инвариантность, поскольку оператор ŝ* не совпадает с ─ ŝ.

Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в действительности контрвариантный спинор ψ^λμ…, который при комплексном сопряжении переходит в ковариантный ψ^λμ…* . Ко-нтравариантным же является спинор ψ_λμ…^*. Находя компоненты (ŝHψ)* и выражая их через ψ_λμ…^*, убеждаемся в том, что операция обращения времени приводит к уравнению Шредингера для компонент ψ_λμ…^* того же вида, который имело исходное уравнение для компонент ψ^λμ….

§ 2 Движение в однородном магнитном поле

Определим уровни энергии частицы в постоянном однородном магнитном поле.

Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать здесь не в виде (111,7), а в следующей форме:

A_x =-Hy, A_y =A_z (112,1)

(ось г выбрана в направлении поля). Тогда гамильтониан приобретает вид

(112.2)

Прежде всего замечаем, что оператор s_z коммутативен с гамильтонианом (поскольку последний не содержит операторов других компонент спина). Это значит, что z-проекция спина сохраняется и потому s_z можно заменить собственным значением s_z = σ. После этого спиновая зависимость волновой функции становится несущественной и ψ в уравнении Шредингера можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение

(112.3)

Гамильтониан этого уравнения не содержит явно координат x и z. Поэтому с ним коммутативны также и операторы p_x и р_z (дифференцирования по х и z), т. е. х- и z-компоненты обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ψ в виде

(112.4)

Собственные значения p и p, пробегают все значения от —оо до оо. Поскольку А_z = 0, то z-компонента обобщенного импульса совпадает с компонентой обычного импульса тv_z. Таким образом, скорость частицы в направлении поля может иметь произвольное значение; можно сказать, что движение вдоль поля «не квантуется».

Подставив (112,4) в (112,3), получим следующее уравнение для функции χ(y):

(112.5)

где введены обозначения y_o =-cp_x /eH и

(112,6)

Уравнение (112,5) по форме совпадает с уравнением Шредингера (23,6) для линейного осциллятора, колеблющегося с частотой ω_H . Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в круглых скобках в (112,5), играющее роль энергии осциллятора, может принимать значения (п + 1/2) ħ ω_H ħħ, где п = 0, 1, 2,...

Таким образом, получаем следующее выражение для уровней

энергии частицы в однородном магнитном поле:

(112.7)

Первый член в этом выражении дает дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикулярной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона µ/s = =-|e|ħ/mc, и формула (112,7) принимает вид

E=(n+0.5+σ)ħω_H+ (112.8)

Собственные функции отвечающие уровням энергии (112,7), даются формулой (23,12) с соответствующим изменением обозначений

= (112.9)

где а_Н =

В классической механике движение частиц в плоскости, перпендикулярной к полю Н (плоскость ху), происходит по окружности с неподвижным центром. Сохраняющаяся в квантовом случае величина у_о соответствует классической . y-координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величина x_o = (сру/еН)+ х (легко убедиться в том, что ее оператор коммутативен с гамильтонианом (112,2)). Эта величина соответствует классической x-координате центра окружности . Однако операторы x_o и y_o не коммутативны друг с другом, так что координаты x_o и у_о не могут иметь одновременно определенных значений.

Поскольку (112,7) не содержит величины p_x, пробегающей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непрерывной кратностью. Кратность вырождения, однако, становится конечной, если движение в плоскости ху ограничено большой, но конечной площадью S=L_x L_y. Число различных (теперь дискретных) значений p_x в интервале p_x равно (L_x./2πħ) p_x Допустимы все значения p_x, для которых центр орбиты находится внутри S (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравнению о большим L_y). Из условий 0 < y_o < L_y имеем p_x == eHLy/c. Следовательно, число состояний (для заданных n и p_z) есть eHS/2πħc. Если область движения ограничена также и вдоль оси z (длиной L_z, то число возможных значений р_z в интервале p_z, есть (L_z/2πħ) p_z, и число состояний в этом интервале есть

(112,10)

Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение:

уровни энергии (112,8) совпадают для состояний с квантовыми числами n,σ=0.5 и n+1,σ=-0.5

§ 3. Атом в магнитном поле

Рассмотрим атом, находящийся в однородном магнитном поле Н. Его гамильтониан

(113,1)

где суммирование производится по всем электронам (заряд Здектрона написан как —|e |); U — энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; S = — оператор полного (электронного) спина атома.

Если векторный потенциал поля выбран в виде (111,7), то как уже было отмечено, оператор p коммутативен с А. Учитывая, это обстоятельство при раскрытии квадрата в (113,1) и обозначивпосредством Н_o гамильтониан атома в отсутствие поля, находим

Подставив сюда А из (111,7), получим

Но векторное произведение [r_a p_a ] есть оператор орбитального момента электрона, а суммирование по всем электронам дает оператор ħL полного орбитального момента атома. Таким образом,

(113,2)

(µ_B — магнетон Бора). Оператор

(113,3)

можно рассматривать как оператор «собственного» магнитного момента атома, которым он обладает в отсутствие поля.

Внешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, снимая вырождение по направлениям полного момента (эффект Зеемана). Определим энергию этого расщепления для атомных уровней, характеризующихся определенными значениями квантовых чисел J, L, S (т. е. предполагая для уровней случай LS-связи ).

Будем считать магнитное поле настолько слабым, что µ_B H мало по сравнению с расстояниями между уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры уровней. Тогда второй и третий члены в (113,2) можно рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уровнями являются отдельные компоненты мультиплетов. В первом приближении третьим членом, квадратичным по полю, можно пренебречь по сравнению с линейным вторым членом.

В этом приближении энергия расщепления определяется средними значениями возмущения в состояниях (невозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на направление поля. Выбрав это направление в качестве оси z, имеем

(113,4)

Среднее значение J _z, совпадает просто с заданным собственным значением J _z == m_j. Среднее же значение S можно найти следующим образом с помощью «поэтапного» усреднения.

Усредним сначала оператор S по состоянию атома c заданными значениями S, L и J, но не m_j. Усредненный таким образом оператор S может быть «направлен» лишь вдоль J — единственного сохраняющегося «вектора», характеризующего свободный атом. Поэтому можно написать

S=const J

В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл, поскольку три компоненты вектора J не могут иметь одновременно определенных значений. Буквальный же смысл имеют его z-проекция

S_z=const J_z =const M_j

и равенство

SJ=const J² = const J(J+1)

получающиеся умножением обеих его сторон на J. Внеся сохраняющийся вектор J под знак среднего, пишем SJ = SJ. Среднее же значение SJ совпадает с собственным значением

SJ=1/2 [J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)]

которому оно равно в состоянии с определенными значениями L², S², J² . Определив const из второго равенства и подставив в первое, имеем, таким образом,

S_z=M_J (113.5)

Собрав полученные выражения и подставив в (113,4), находим следующее окончательное выражение для энергии расщепления:

(113.6)

где

g =1 + (113,7)

есть так называемый множитель Ланде или гиромагнитный множитель. Отметим, что g =1 если спин отсутствует (S = 0, таи что J = L), и g = 2, если L = 0 (так что J = S).

Формула (113,6) дает различные значения энергии для всех 2J + 1 значений m_J = —J, —J + 1, ..., J. Другими словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по направлениям момента — в противоположность электрическому полю, оставлявшему нерасщепленными уровни с m_J = ±| m_J |. Отметим, однако, что линейное расщепление, определяемое формулой (113,6), отсутствует, если g = 0 (что возможно и при J 0, например, для состояния ⁴D_1/2).

Cуществует связь между сдвигом уровня энергии атома в электрическом поле и его средним электрическим дипольным моментом. Аналогичная связь существует и в магнитном случае. Потенциальная энергия системы зарядов в классической теории дается выражением --µН, где µ—магнитный момент системы. В квантовой теории она заменяется соответствующим оператором, так что гамильтониан системы

H=H_o -µH= H_o-µ_zH

Применив теперь формулу

(с полем Н в качестве параметра ), найдем, что среднее значение магнитного момента

µ_z= (113,8)

где — сдвиг уровня энергии данного состояния атома. Подставив сюда (113,6), мы видим, что атом в состоянии с определенным значением m_j проекции момента на некоторое направление z обладает средним магнитным моментом в том же направлении;

µ_z=µ_BgM_J (113,9)

Если атом не обладает ни спином, ни орбитальным моментом (S = L = 0), то второй член в (113,2) не дает смещения уровня ни в первом, ни в более высоких приближениях (так как все матричные элементы от L и S исчезают). Поэтому весь эффект связан в этом случае с третьим членом в (113,2) и в первом приближении теории возмущений смещение уровня равно среднему значению