Колебания в плазме / Колебания в плазме.doc

Московский Институт Электронной Техники.

Кафедра КФН.

Курсовая работа

по курсу:

Квантовая теория и

статистическая физика.

Тема: Колебания в плазме

Выполнил:студент группы

ЭКТ-26 Степанов В.П.

Проверил:Корнеева Б.М.

Москва 2004

Содержание стр

1. Введение 3

2. Дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн

малой амплитуды 3

3. Метод малых колебаний. Диэлектрическая проницаемость

незамагниченной плазмы 7

4. Поперечные электромагнитные волны в незамагниченной плазме 14

5. Явление отсечки низкочастотной поперечной волны 16

6. Ленгмюровские колебания и волны в плазме. Плазмоны 17

7. Ионные ленгмюровские волны. Ионно-звуковые волны в плазме 20

8. Бесстолкновительное затухание волн в плазме 25

9. Список используемой литературы 28

Введение.

Это очень интересный, но весьма сложный раздел физики плазмы. Плазма имеет много степеней свободы, ее свойства сильно меняются при наложении магнитного поля (возникает сильная анизотропия). По этой причине спектр возможных в ней колебаний и волн является весьма широким. Мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее характерные примеры для изотропной (незамагниченной) плазмы и распространение простейших типов волн в замагниченной плазме. Обычно классификация типов волн начинается с разделения их на продольные и поперечные волны. Для механических волн продольность или поперечность волны связывают с характером движения в ней частиц − вдоль или поперек направления распространения волны. Для электромагнитной волны ее продольность или поперечность определяется взаимной ориентацией вектора распространения волны (волнового вектора) и вектора электрического поля волны. Если волновой вектор и вектор электрического поля волны коллинеарные, то такая волна является продольной. Если же плоскость колебаний вектора электрического поля перпендикулярна направлению распространения волны, то такая волна является поперечной. Примером строго поперечной волны может служить электромагнитная волна − свет в вакууме. Для поперечных волн в поперечной по отношению к направлению распространения волны плоскости, очевидно, можно ввести два независимых взаимно перпендикулярных направления. Соответственно, говорят о двух независимых поляризациях волны. В плазме, независимо от наличия или отсутствия внешнего магнитного поля, возможно распространение и продольных и поперечных волн, причем при наличии внешнего магнитного поля возможно распространение и продольных и поперечных волн как вдоль, так и поперек этого магнитного поля. В связи с этим важно не путать характер волны − продольная она или поперечная − и характер ее распространения: вдоль или поперек магнитного поля, в которое помещена плазма.

С возникновением и раскачкой колебаний и волн в плазме непосредственно связаны многие неустойчивости плазмы, которые будут обсуждаться в заключительном разделе этой главы.

Дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн малой амплитуды.

Напомним кратко основные сведения из физики волновых процессов. Основным соотношением, определяющим условия распространения волны в данной среде, является закон дисперсии, устанавливающий связь частоты колебаний и волнового вектора:

. (1)

Закон дисперсии позволяет определить фазовую скорость волны

(2)

и ее групповую скорость

. (3)

Групповая скорость волны определяет перенос волновой энергии и поэтому никогда не может превышать скорость света в вакууме

.

Фазовая скорость − скорость перемещения в волне точек с постоянной фазой − не связана с переносом волной энергии, а потому не ограничена величиной скорости света. В принципе, она может быть любой по величине, в том числе и больше скорости света, если это позволяет закон дисперсии. Дисперсионные свойства данной среды, если ограничиться областью волн малой амплитуды, можно установить, рассматривая отклик среды на малое воздействие. Для волн конечной амплитуды ситуация сложнее: такие волны изменяют свойства среды, в которой распространяются. Упрощенно это можно трактовать как появление зависимости частоты колебаний от амплитуды волны :

(4)

Такова ситуация для слабонелинейных волн, например, ленгмюровских солитонов.

Ограничимся здесь рассмотрением волн малой амплитуды. Универсальный подход, справедливый для волн любой природы, заключается в следующем. Электромагнитное поле волны , следует определять из уравнений Максвелла:

(5)

Здесь , − наведенная в среде полем волны плотность электрического заряда и плотность тока. Эти величины не являются полностью независимыми, а, как это следует из (5), связаны соотношением

, (6)

выражающем собой закон сохранения заряда. В этом нетрудно убедиться, применив операцию дивергенции ко второму уравнению системы (5). Поскольку коэффициенты уравнений (5), (6) явно не содержат координат и времени, можно искать решение в виде гармонической волны . Так как производные по времени и координатам от гармонической волны такого вида сводятся к алгебраическому домножению на и соответственно,

,

,

то уравнения (5) при такой подстановке превращаются в алгебраические:

(7)

Первое из этих соотношений выражает магнитное поле волны через электрическое

,

и при таком определении, очевидно, последнее из соотношений (7) становится тождеством. Таким образом, соотношения (7) сводятся к следующим:

(8)

До сих пор мы не высказывали никаких предположений о связи наведенной волной в среде плотности тока (или заряда) и ее электромагнитного поля. Как это принято, для волн малой амплитуды эта связь предполагается линейной:

, (9)

а набор соответствующих коэффициентов пропорциональности составляет тензор проводимости , зависящий от свойств рассматриваемой среды, а также, вообще говоря, от частоты волны и волнового вектора. По определению этот тензор связан с тензором диэлектрической проницаемости среды соотношением:

, (10)

где первое слагаемое − единичная диагональная матрица. Поскольку, в силу (6), наведенная плотность заряда должна быть связана с наведенной плотностью тока соотношением

,

то второе из соотношений (8) фактически является следствием первого. По этой причине, с учетом определения тензора диэлектрической проницаемости, после простых преобразований приходим к однородной алгебраической задаче:

, (11)

где величина

(12)

представляет собой квадрат показателя преломления волны. Однородная задача (11), как известно, имеет ненулевое решение не всегда, а только при выполнении дополнительного условия. А именно, детерминант входящей в (11) матрицы должен быть равен нулю:

. (13)

Это условие и представляет собой дисперсионное уравнение, определяющее закон дисперсии (1) волн, способных существовать в данной среде. Если дисперсионное уравнение имеет несколько решений, то о них говорят как о ветвях или о модах собственных колебаний.

Если среда, в которой рассматривается распространение волны, изотропна, так что единственным выделенным направлением является направление распространения самой волны, то среди всех компонент тензора диэлектрической проницаемости отличны от нуля лишь две компоненты − продольная и поперечная по отношению к направлению распространения волны (здесь индексы и - начальные буквы английских терминов longitudinal - продольный и transversal - поперечный). Тогда этот тензор оказывается следующим:

, (14)

а дисперсионное уравнение, как легко проверить, приводится к виду:

.

Таким образом, как мы видим, существуют две возможности выполнить это условие:

, (15)

. (16)

Первая из них отвечает продольным волнам, а вторая − поперечным. Полезно отметить, что если пространственная дисперсия (т.е. зависимость компонент тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора) несущественна, то продольная и поперечная компоненты совпадают и можно говорить лишь об одной величине - диэлектрической проницаемости среды. Она и определяет дисперсионные уравнения для продольных

, (17)

и поперечных волн

. (18)

Например, в вакууме, когда, очевидно, проводимость равна нулю, получаем из (10)

,

поэтому, согласно (17), продольные волны невозможны, а закон дисперсии поперечных волн, как это следует из (18) и (12), оказывается следующим

.

Напомним, что поперечные волны могут иметь два независимых направления поляризации. Подчеркнем в заключение, что если плазма анизотропна, например, помещена в магнитное поле, или в ней распространяется пучок частиц, так что существует явно выделенное направление, то представление (4.14) для тензора диэлектрической проницаемости не справедливо, но закон дисперсии для продольных волн по-прежнему определяется уравнением (4.15), если под «продольной» диэлектрической проницаемостью понимать величину

.

Метод малых колебаний. Диэлектрическая проницаемость незамагниченной плазмы.

Как следует из изложенного в предыдущем параграфе, все свойства волн, способных распространяться в данной среде, в том числе и в плазме, определяются ее диэлектрической проницаемостью. Поэтому наша ближайшая цель установить и исследовать диэлектрические свойства плазмы. Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных плазменных волн напомним два результата, которые мы уже обсуждали ранее. Во-первых, диэлектрическая проницаемость холодной плазмы должна определяться соотношением:

, (19)

где - частота колебаний, а - ленгмюровская (или плазменная) частота. Возникает вопрос, какую плазму можно назвать холодной? Для ответа на этот вопрос, очевидно, надо сопоставить характерные скорости движения частиц плазмы и фазовые скорости плазменных волн. Для равновесной плазмы характерная скорость движения частиц (в отсутствие волны!)  это тепловая скорость (большая для электронов плазмы), поэтому, изучая условия распространения волн, плазму можно считать холодной при выполнении условия:

. (20)

Поскольку это условие ограничивает частоту волн снизу, то оно отвечаетвысокочастотному пределу, а, следовательно, формула (19) определяет диэлектрическую проницаемость плазмы в высокочастотном пределе.

Во-вторых, напомним, что при обсуждении дебаевской длины экранирования было получено уравнение экранировки

(21)

где - радиус Дебая для плазмы. Экранировка здесь рассматривается как статический процесс, поэтому уравнение (4.21) отражает диэлектрические свойства плазмы в статическом пределе. Полагая в (4.21)

приходим к следующему результату:

, , (22)

определяющему диэлектрическую проницаемость плазмы в статическом пределе, справедливом при выполнении условия, обратного по отношению к (19):

. (23)

Подчеркнем, что в обоих предельных случаях структура оказывается следующей:

Первое слагаемое здесь единица вклад вакуума, а остальные два отвечают вкладу электронов и ионов соответственно. Вклад различных компонент оказывается аддитивным вследствие отсутствия взаимодействия между ними.

Чтобы составить более полную картину диэлектрических свойств незамагниченной плазмы, воспользуемся методом малых колебаний. Для упрощения, и здесь следует сразу оговориться, будем пренебрегать эффектами резонансных с волной частиц. Резонансные эффекты играют принципиальную роль во многих плазменных явлениях, например, в механизме бесстолкновительного затухания Ландау, но их учет требует усложнения описания плазмы, поэтому пока их не будем затрагивать.

Суть метода малых колебаний заключается в следующем. Привоздействии на первоначально невозмущенную плазму волны малой амплитуды логично ожидать появления малого отклика, поэтому можно воспользоваться разложением величины этого отклика по амплитуде волны,

пренебрегая нелинейными эффектами. Кроме того, без учета резонансных эффектов, движение частиц плазмы, индуцируемое волной, можно рассматривать с помощью гидродинамических уравнений, записав для каждого сорта частиц уравнения движения и уравнения сохранения вещества.

Рассмотрим простейший пример: идеальную холодную плазму без пучков. Это значит, что мы пренебрежем тепловой скоростью частиц по сравнению со скоростью, приобретаемой ими в самосогласованых полях. Этот простой пример является удобной отправной точкой для более сложных ситуаций. В невозмущенном равновесном состоянии полагаем, что плотность плазмы однородная , нет внешнего электрического поля и потоков частиц . Под воздействием поля волны частицы плазмы придут в движение, получив ускорение, определяемое уравнениями движения:

(24)

При записи (24) учли, что поле имеет малую амплитуду, поэтому все нелинейные слагаемые опущены. По этой же причине в правых частях фигурирует лишь действующая на частицы сила, обусловленная электрическим полем волны. Действуя по рецепту, предложенному в предыдущем

параграфе, считаем поле волны и скорости гармоническими,

.

Далее, с помощью (24) вычисляем скорости электронов и ионов, а затем и плотность тока, индуцируемого волной. Результат оказывается следующим:

.

Коэффициент пропорциональности между плотностью тока и напряжен ностью поля волны дает величину проводимости плазмы, которая в рассматриваемом пределе оказывается равной

(25)

Вклад в проводимость дают обе компоненты плазмы, но, естественно, не в равной мере. Обычно электронный вклад является доминирующим. Воспользовавшись теперь определением (10), можно вычислить диэлектрическую проницаемость, которая, как нетрудно проверить, совпадет с приведенной выше величиной (19).

Усложним модель плазмы, вводя в рассмотрение возможность передачи импульса в столкновениях между ионами и электронами. Учет этого эффекта приводит к появлению в уравнениях движения дополнительных слагаемых, происхождение которых  взаимное трение компонент плазмы:

. (26)

Вычисление скоростей компонент плазмы теперь несколько усложняется, но его можно упростить, если учесть следующее обстоятельство. Заметим, что любой выделенный единичный объем плазмы в нашей модели является нейтральным по заряду. Поэтому действующие на него электрические силы компенсируют друг друга. Кроме того, передача импульса между ионами и электронами не меняет в целом импульса выделенного объема плазмы! Поэтому, если импульс этого единичного объема первоначально был нулевым, то он остается таковым и в дальнейшем:

Это соотношение позволяет выразить одну скорость через другую, например ионную скорость через электронную скорость:

Уравнения (26) в результате сводятся к одному, например, уравнение движения электронов будет следующим:

и теперь уже несложно вычислить скорости и с их помощью плотность электрического тока. Для гармонической волны она оказывается равной:

, (27)

и вновь пропорциональной полю волны. Здесь - частота электронионных столкновений, - проводимость плазмы. Для диэлектрической проницаемости:

. (28)

Как мы видим, она становится величиной комплексной. Это является следствием того, что столкновения приводят к затуханию колебаний, то есть к диссипации энергии. Заметим, что в (28) теперь уже нельзя выделить отдельно вклад ионов и электронов Аддитивность вкладов нарушается из-за взаимодействия компонент плазмы. Подчеркнем еще одно важное обстоятельство. Использованные в (26) выражения для плотности сил взаимного трения между электронами и ионами

,

или между ионами и электронами

,

отличаются по знаку - так и должно быть для сохранения импульса в целом в ионэлектронной системе, но, на первый взгляд, несимметричны при «буквенной» перестановке масс, зарядов и концентраций частиц. В действительности, необходимая симметрия имеет место. Достаточно вспомнить, что, эти параметры должны входить в выражение для времени между столкновениями ионов и электронов следующим образом:

, .

Теперь, после подстановки в выражения для плотностей сил трения, требуемая симметрия становится очевидной.

В уравнениях (24), (26) мы пренебрегли эффектами, связанными с конечностью температуры плазмы, что справедливо в высокочастотной области, когда выполнено условие (20). Чтобы продвинуться вобласть меньших частот, когда фазовая скорость волны оказывается одного порядка с тепловыми скоростями частиц, необходимо усложнить модель плазмы, включая эффекты конечного давления, что мы и собираемся теперь сделать. Вместе с тем для упрощения будем пренебрегать столкновениями ионов и электронов. Это возможно, если температура достаточно велика. Напомним, что частота ион-электронных столкновений быстро убывает с ростом температуры:

Если температура плазмы конечная, то в правые части уравнений движения (24) необходимо добавить слагаемые с градиентом давления.

Пусть температура компонент плазмы постоянная, тогда градиент давления определяется градиентом возмущения плотности:

,

следовательно, уравнения движения необходимо дополнить уравнениями, определяющими возмущение плотности плазмы. Если число частиц плазмы сохраняется, то необходимые нам дополнительные соотношения дают уравнения непрерывности. Для малых возмущений на фоне однородной плазмы это уравнения вида:

Кроме модели плазмы с постоянной температурой, часто используется модель политропы, в которой давление и температура плазмы предполагаются степенными функциями плотности:

,

где соответствующий показатель политропы. Для этогослучая градиент давления для малых возмущений будет равен

.

Объединяя вместе все вышесказанное, приходим к следующей модели для «теплой плазмы»:

. (29)

Здесь индекс обозначает «сорт» частиц плазмы - ион или электрон. Так, заряд электрона, а заряд иона. Вновь предполагая волны гармоническими, вычисляем возмущение плотности и скорости компонент плазмы: