Сходимость рядов теории возмущений в задаче о распределении коротких волн в случайно неоднородной среде / Короткие волны в случ. неодн. средах.doc

СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О РАСПРО- СТРАНЕНИИ КОРОТКИХ ВОЛН В СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.

Рассматривается решение параболического уравнения Леонтовича, описывающего распространение коротких волн в случайно неоднородной среде. Предполагается, что проницаемость среды флуктуирует по гауссову закону и начальное условие задается в виде волнового пакета с квадратично интегрируемой амплитудой. Показывается, что ряды теории возмущений для среднего по ансамблю поля и функции взаимной когерентности поля, удовлетворяющего параболическому уравнению, сходятся по нормам соответствующих гильбертовых пространств при весьма слабом ограничении на вид корреляционной функции флуктуаций проницаемости и произвольном значении пройденной волной дистанции. Получены строгие оценки погрешностей вычисления сумм этих рядов с помощью уравнений Дайсона в приближении Бурре, составленных исходя из параболического уравнения.

В последнее время в ряде работ распространение волн в случайно неоднородной среде с крупномасштабными неоднородностями описывается параболическим уравнением Леонтовича. Поэтому представляет интерес найти решение этого уравнения при наиболее общих предположениях о статистических свойствах среды.

В работе Татарского параболическое уравнение решается в марковском приближении, когда флуктуации проницаемости среды распределены по гауссову закону и дельта - коррелированы в направлении падения волны.

В данной работе исследуется решение параболического уравнения, описывающего распространение волн в случайно неоднородной среде с гауссовыми флуктуациями проницаемости, без использования предположения о том, что эти флуктуации дельта - коррелированы в направлении падения волны.

1.СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

Параболическое уравнение Леонтовича удобно записать в виде уравнения Шредингера

(1)

где u(p, t) - комплексная амплитуда поля, V(p,t)=-k₀² (x, р) - эффективный потенциал среды, ε(x, p) - флуктуирующая часть ее проницаемости, k₀ - волновое число в свободном пространстве (в отсутствие флуктуаций проницаемости), t=x/2k₀, х - продольная и р - поперечные координаты по отношению к первоначальному направлению распространения волны, Δ - оператор Лапласа по поперечным координатам p. К уравнению (1) добавляется начальное условие.

(2)

Предполагаем, что проницаемость ε^~(х, р) есть гауссова случайная функция от х, р.

Обозначим через K(p, p', t) функцию Грина свободного пространства, удовлетворяющую уравнению (1) при V(p, t)0 и начальному условию

.

Уравнение (1) с начальным условием (2) сводится к интегральному

с неоднородным членом

.
В операторной форме

(3)

где через u₀(0) обозначено u₀(р).

Наряду с полем u(р, t) рассматриваем его билинейную комбинацию

где звездочка указывает на переход к комплексно-сопряженной величине. Интегральное уравнение для γ(p1, p2, t) при начальном условии

γ(p1, p2, 0) = γ(p1, p2) (4)

в операторной форме аналогично уравнению (3) и записывается как

(5)

где через К(t) обозначена тензорная функция Грина свободного пространства с ядром

переводящая при своем действии функции от p₁' p₂' в функции от p_1, р₂; через V(p₁, p₂, t), обозначен тензорный потенциал

и через γ₀(0) обозначено γ₀ (p₁, р₂).

2.ОГРАНИЧЕНИЯ НА НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

Будем считать, что начальные условия (2) и (4) для поля и его билинейной комбинации задаются в виде волновых пакетов с квадратично интегрируемыми функциями u₀(p) γ₀(p₁, p₂).На этих функциях определяются гильбертовы пространства H₁ и H₂ со скалярными произведениями:

(6)

где штрихами отмечаются различные начальные условия. Скалярным произведениям(6) отвечают нормы || u₀ || ₁ и || γ₀ || ₂ в H₁ и H₂.

Функция Грина K(t), как хорошо известно из квантовой механики, представляет собой унитарный оператор в Н₁, т. е. при своем действии сохраняет скалярное произведение функций и имеет единичную норму.Из унитарности функции Грина К(t) в Н₁ следует унитарность тензорной функции Грина К^(t) в Н₂. Таким образом,

(7)

Операторы умножения E (χ) и E^(χ₁,χ₂)на осциллирующие экспоненты, действующие в Н₁ и Н₂ согласно

₍₈₎

где χ, χ₁, χ₂ - вещественные векторы, также унитарны:

(9)

Нам встретятся операторные интегралы вида

(10)

где А = А(ω) - операторная функция параметра ω, каждое значение которой А есть оператор, действующий в Н₁ или Н₂ ,f(ω) - комплексная функция. Норма оператора I, действующего в H₁ или Н₂, оценивается интегралом

(11)

3. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СРЕДНЕГО ПОЛЯ И ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ.

Представим решения интегральных уравнений (3) и (5) для u(t) и γ(t) в виде рядов теории возмущений и усредним их по ансамблю флуктуаций проницаемости. В результате получаем ряды для среднего поля u(t) =< и(t) > и функции взаимной когерентности γ(t)=<γ(t)>, где угловые скобки означают усреднение по ансамблю.

Так как операторные формы уравнений (3) и (5) для поля и его билинейной комбинации аналогичны, ограничимся описанием исследования ряда теории возмущений для среднего поля u(t). Этот ряд имеет вид

(12)

Определим смысл средних по ансамблю от произведений операторов в членах ряда (12).Переходим от операторов к ядрам и используем правило усреднения произведения значении гауссовой случайной функции. Раскладываем корреляционные функциипотенциала V(p, t) в интегралы Фурье по поперечным координатам р и р', обозначая их фурье - образы через В (χ, t;χ',t ). Вводим операторы умножения Е(χ), действующие согласно первому равенству (8). Возвращаемся от ядер к операторам. Эти преобразования приводят к равенствам

(13)

где сумма справа берется по всем разбиениям α чисел 1,2, ... , 2n на n групп α ₁, α ₂, … , α _2n-1, α _2n по два числа в каждой группе.

Правые части равенств (13) имеют вид операторных интегралов (10). Оценивая их нормы с помощью первых равенств (7), (9) и неравенства (11), находим, что ряд (12) мажорируется по норме H₁следующим рядом:

(14)

где через B(t, t') обозначена положительная функция, для которой интеграл

(15)

Чтобы свернуть мажорантный ряд (14) в конечное выражение, рассмотрим вспомогательный одномерный случайный процесс ξ(t), удовлетворяющий уравнению

(16)

где v(t) —гауссова случайная функцией функция с корреляционной

Вычисляя среднее по ансамблю k(t) = <ξ(t) от решения уравнения (16) с помощью характеристического функционала для v(t) и с помощью ряда теории возмущений, приходим к выводу, что сумма мажорантного ряда (14) равна k(t) || u ₀(0) ||, где функция k(t) равна

Окончательно оказывается, что сумма u(t) ряда (12) подчиняется оценке

(17)

При исследовании сходимости ряда теории возмущений для функции взаимной когерентности γ(t) появляются фурье - образы корреляционных функций тензорного потенциала V^(p₁, p₂, t) по поперечным координатам p₁,p₂. Каждый такой фурье - образ равен сумме четырех слагаемых, содержащих в качестве множителей дельта - функции* от χ -аргументов. Поэтому сначала раскладываем в членах ряда теории возмущений произведения фурье - образов корреляционных функций тензорного потенциала по формуле бинома Ньютона и интегрируем по χ - аргументам всех дельта - функций, а уже потом используем неравенство (11). В остальном исследование сходимости ряда для γ(t) аналогично исследованию ряда для u(t), и его сумма подчиняется оценке
(18)

где функция

Оценки (17) и (18) показывают, что ряды теории возмущений для среднего поля и функции взаимной когерентности поля, удовлетворяющего параболическому уравнению (1), сходятся по нормам Н₁ и Н₂ при условии ограниченности интеграла в левой части неравенства (15) и любом значении пройденной волной дистанции.

4.ПОГРЕШНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДАЙСОНА В ПРИБЛИЖЕНИИ БУРРЕ.

Уравнения Дайсона в приближении Бурре для среднего поля и функции взаимной когерентности (которые в этом приближении обозначим через u_Д(t) и γ_Д(t)), составленные исходя из параболического уравнения (1), имеют вид
(20)

Оценим разность u(t)-u_Д(t) между суммой ряда теории возмущений (12) для среднего поля u(t) и решением u_Д(t) уравнения Дайсона (19). Представляем решение уравнения (19) в виде ряда теории возмущений и вычитаем его из ряда (12). Получаем ряд для оцениваемой разности. Он отличается от ряда (12) лишь тем, что в нем нет первого члена u₀(t), члена суммы с n = 1, и в правых частях равенств (13) из сумм по разбиениям α исключено простейшее разбиение 1, 2; 3, 4;...; 2n-1, 2n. Поэтому сразу же можно указать, каким рядом мажорируется ряд для оцениваемой разности. Этот мажорантный ряд сворачивается в конечное выражение с помощью решения уравнения
(21)

которое служит уравнением Дайсона в приближении Бурре для среднего по ансамблю от вспомогательного одномерного случайного процесса ξ(t). Разность u(t)-u_Д(t) оценивается неравенством
(22)

где функция q(t) равна

Аналогичная оценка разности γ(t)-γ_Д(t) между суммой ряда теории возмущений для функции взаимной когерентности γ(t)и решением γ_Д(t) уравнения Дайсона (20) имеет вид
(23)

где функция q(t) равна


и вычитаемое k_Д(t) удовлетворяет уравнению, которое получается из уравнения (21) заменой ядра B(t, t') на 4B(t, t').

Неравенства (22) и (23) оценивают абсолютные погрешности применения уравнений Дайсона (19) и (20) к вычислению сумм рядов теории возмущений для среднего поля и функции взаимной когерентности поля, удовлетворяющего параболическому уравнению (1). Чтобы получить относительные погрешности, необходимо располагать оценками снизу для норм решений уравнений Дайсона (19) и (20). Такие оценки снизу имеют вид
(24)

где через k^-_Д(t)>0 и k^ ^-_Д(t)>0 обозначены положительные решения уравнений, которые получаются из уравнения (21) для k_Д(t) и из уравнения для k^_Д(t) изменением знака перед их интегральными членами на противоположный. Разделим неравенства (22), (23) на (24). Это дает
(25)

где функции Q(t) и Q^(t) равны
(26)

5. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДАЙСОНА В ПРИБЛИЖЕНИИ БУРРЕ.

Рассмотрим неравенства (25) для относительных погрешностей применения уравнений Дайсона (19.) и (20) с физической точки зрения. Считаем, что среда статистически однородна. Обозначим через d величину, связанную с корреляционной функцией В (р, t) потенциала равенством


Эта величина представляет собой длину экстинкции среднего поля, вычисленного в марковском приближении.

Если преобразование Фурье В(χ, t) корреляционной функции B(р, t) по p положительно, то для функции B(t, t') B(t - t') в правой части неравенства (15) можно взять B(t) = B(p,t) при р = 0. Пусть
(27)

где σ² - средний квадрат флуктуаций проницаемости, t_|| =2l_||/k₀, l_|| - продольный масштаб эффективной неоднородности. Относительные погрешности Q(t) и Q^(t) с функцией B(t), равной (27), легко вычисляются. Приведем их приближенные значения, когда выполняются условия
(28)

Условия (28) имеют ясный физический смысл и означают, что пройденная волной дистанция велика по сравнению с продольным масштабом неоднородности, который сам мал по сравнению с длиной экстинции. Третье условие (28) накладывает на дистанцию ограничение сверху, позволяющее ей, однако, превышать длину экстирции.

Нестрогие оценки показывают, что условия (28) допускают в уравнении Дайсона (19) переход к марковскому приближению. Такой переход производится заменой в этом уравнении корреляционной функции потенциала В(р, t) на ее эффективное значение, пропорциональное дельта - функции от продольной координаты t.

Приближенные значения Q(t) и Q^(t) при условиях (28) равны

. (29)

Из формул (29) видно, что если, например, пройденная волной дистанция равна длине экстинкции, х = d, то относительные погрешности меньше, чем Q(t)l_||/d и Q^(t)400 l_||/d. Вторая из этих погрешностей становится меньше единицы при более жестком ограничении на отношение l_||/d по сравнению с первой погрешностью.

В заключение обратим внимание на то, что требование малости, по сравнению с единицей, функций Q(t) и Q^(t), определяемых выражениями (26), дает только достаточные условия, при которых уравнения Дайсона в приближении Бурре (19) и (20) можно применять к вычислению среднего поля и функции взаимной когерентности поля, удовлетворяющего параболическому уравнению (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.В. И. Татарский, ЖЭТФ.56, вып. 6, 2106 (1969).

2.Н. И. Ахиезер, И. Н. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, изд. Наука, М.,1966.