Поправки к гидродинамике жидкостей / Поправки к гидродинамике жидкостей.doc
Содержание:
Введение…………………………………………………………..2
1.Виды поправок………………………………………………….2
2.Гидродинамические уравнения идеальной жидкости………..3
3.Флуктуации.Разложение уравнений
с точностью до квадратичных членов…………………………4
4.Влияние флуктуации……………………………………………8
5.Поправочные члены к характеристикам звука………………..9
Заключение………………………………………………………..10
Введение
Уравнения гидродинамики получаются путем разложения уравнений движения по градиентам скорости и термодинамических величин, причем в них учитываются члены вплоть до второго порядка по пространственным производным. В этом приближении вид уравнений, как известно, однозначно следует из одних только общих законов сохранения и потому одинаков для любых газов и жидкостей. Специфика проявляется лишь в термодинамических функциях и значениях кинетических коэффициентов.
1.Виды поправок
Иная ситуация возникает, как будет показано ниже, при переходе к следующему приближению. Существуют, вообще говоря, два совершенно различных типа поправок к гидродинамике. С одной стороны, это обычные «газокинетические» поправки, найденные Барнетом на основе уравнения Больцмана. Если ограничиться линеаризованными уравнениями, то в барнетовском приближении в уравнении Навье — Стокса появляется добавочное слагаемое, пропорциональное третьей пространственной производной от температуры, порядок величины которого есть ,где — волновой вектор или другая обратная характерная длина, —число частиц в единице объема, — длина свободного пробега частиц, —характерная разность температур. С другой стороны, в данной работе будут вычислены флуктуационные поправки, обусловленные наличием длинноволновых тепловых флуктуации, в частности звуковых флуктуации. Поскольку поглощение звука пропорционадьно квадрату частоты (), звуковые флуктуации с достаточно малой частотой имеют как угодно большую длину свободного пробега. В этом заключается физическая причина того, что флуктуационный механизм является всегда основным для достаточно малых градиентов. Действительно, флуктуационная поправка к уравнению Навье — Стокса, как будет видно ниже, по порядку величины равна , т. е. при достаточно малых она значительно превосходит газокинетическую поправку. Существенно, однако, что с ростом газокинетическая поправка становится основной при выполнении условия , где — размер частиц, поэтому для газов () существует широкая область волновых векторов, в которой разложение по градиентам имеет смысл (), но флуктуационные поправки малы. Для жидкостей же и флуктуационные поправки всегда являются основными. Интересно отметить, что в этом случае поправочные члены не содержат никаких новых параметров и полностью выражаются через входящие в сами гидродинамические уравнения термодинамические функции и кинетические коэффициенты.
Важно подчеркнуть, что существует целый ряд явлений, которые отсутствуют в гидродинамическом приближении и потому целиком обусловлены именно поправками к гидродинамике. Например, в гидродинамике отсутствует термомеханический эффект, т. е. возникновение движения под действием градиента температуры при постоянном давлении. Такие явления в газах (при не очень малых ) и в жидкостях качественно отличаются друг от друга. В газах они описываются локальными барнетовскими уравнениями. В случае жидкостей из-за того, что флуктуационные поправки неаналитически зависят от , уравнения являются существенно нелокальными.
2.Гидродинамические уравнения идеальной жидкости
Будем исходить из гидродинамических уравнений идеальной жидкости, записанных в форме законов сохранения массы, импульса и энергии:
(1)
где — плотность, — скорость жидкости, — давление, — энергия единицы объема, — тепловая функция единицы массы.
Первое из уравнений- это уравнение непрерывности. Рассмотрим некоторый объем пространства. Количество жидкости в этом объеме . Через элемент поверхности, ограничивающей этот объем в единицу времени вытекает жидкости.Вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из данного объема есть
С другой стороны уменьшение количесва жидкости в объеме можно написать в виде
Приравнивая эти два выражения и преобразуя интеграл по поверхности к интегралу по объему получим:
и окончательно,
.
Второе уравнение- это уравнение потока импульса. Импульс единицы объёма жидкости есть . Скорость его изменения: . Вычисления производятся в тензорных обозначениях. Имеем:
.
Воспользуемся уравнением непрерывности, записав его в виде:
и уравнением Эйлера в форме:
.
Получим:
.
Первый член справа запишем в виде
и находим окончательно:
, .
3. Флуктуации.Разложение уравнений
с точностью до квадратичных членов
Наличие тепловых флуктуации обусловливает появление малых поправок к гидродинамическим величинам, осциллирующих в пространстве и во времени. Для дальнейшего важно выяснить соотношение между волновыми векторами флуктуации, играющих основную роль, и волновым вектором гидродинамического движения. Пусть для определенности интересующим нас гидродинамическим движением является звуковая волна. Из полученных ниже формул видно, что основной вклад в поправочные члены вносят такие флуктуации, время затухания которых порядка обратной частоты гидродинамического движения. Поскольку время затухания любых флуктуации в жидкости обратно пропорционально квадрату волнового вектора , а частота звука пропорциональна первой степени , можно считать, что . Будем поэтому производить усреднение всех величин по объемам, линейные размеры которых значительно меньше , но значительно больше . Все линейные по амплитудам флуктуаций величины обращаются после такого усреднения в нуль:
,
и интересующий нас эффект возникает лишь во втором приближении по амплитуде флуктуации.
Произвольное малое возмущение в жидкости является суперпозицией звуковых, энтропийных и вихревых волн. Если в качестве независимых термодинамических переменных выбрать давление и энтропию единицы массы , то звуковые флуктуации соответствуют колебаниям давления и продольной части скорости , энтропийные флуктуации — колебаниям , вихревые — колебаниям поперечной части скорости при постоянных остальных переменных. Поскольку различные типы флуктуации можно считать статистически независимыми, средние значения от некоторых квадратичных комбинаций обращаются в нуль.
Например,
Разлагая уравнения (1) с точностью до квадратичных по амплитудам флуктуации членов и производя указанное выше усреднение, получим
(2)
где мы пренебрегли членами, не дающими вклада в интересующие нас линеаризованные уравнения.
Входящая в первое из уравнений (2) величина
(3)
является средней перенормированной плотностью жидкости. Аналогичным образом легко определить среднюю энтропию единицы объема:
(4)
и среднюю скорость
Если выбрать перенормированные величины , и в качестве новых независимых переменных, то можно переписать уравнения (2) в следующем виде:
(5)
где— скорость звука,—теплоемкость единицы массы при постоянном давлении. Представим флуктуации в виде разложений:
где —нормировочный объем,—единичные взаимно перпендикулярные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению волнового вектора , и удовлетворяющие условию и введем функции распределения звуковых,
энтропийных,
и вихревых,
флуктуации.
Входящие в уравнения (5) средние значения выражаются через функции распределения следующим образом:
где . Подставляя эти формулы в уравнения (5), получим после простых преобразований
(6)
где введена перенормированная энтропия единицы массы.
В последнее из уравнений (6) под знаком временной производной кроме энтропии входит комбинация функций распределения, которая представляет собой «комбинаторную» энтропию флуктуации. Для дальнейшего удобно произвести еще одну перенормировку энтропии, включив в нее комбинаторную энтропию. Кроме того, во все уравнения вместо функций распределения можно подставить их отклонения , , от равновесных значений, поскольку равновесные флуктуации можно включить в определение термодинамических функций. В результате уравнения приобретают следующий вид:
(7)
Функция распределения звуковых флуктуации удовлетворяет обычному уравнению Больцмана
где—-теплоемкость единицы массы при постоянном объеме,— коэффициенты первой и второй вязкости,—коэффициент теплопроводности. Полагая , где —равновесная функция распределения, и линеаризуя кинетическое уравнение, найдем
(8)
где .
Входящие в правую часть уравнения (8) временные производные можно выразить через пространственные производные от скорости с помощью линеаризованных уравнений идеальной жидкости:
Неравновесная часть звуковой функции распределения, таким образом, равна
(9)
где — частота и волновой вектор рассматриваемого гидродинамического движения.
В случае, когда мы интересуемся линеаризованными уравнениями, его можно записать в виде
где — коэффициент температуропроводности. Равновесная функция равна . Отсюда тем же способом, что и выше, найдем неравновесную часть энтропийной функции распределения:
(10)
Функция распределения вихревых флуктуации удовлетворяет уравнению
откуда находим неравновесную часть :
(11)
При подстановке выражения (9) в последнее, например, из уравнений (7) под знаком дивергенции возникает, в частности, интеграл вида
Этот интеграл расходится в области больших , разность же конечна. Величина определяет вклад звуковых флуктуации в поток тепла при наличии постоянного в пространстве и во времени градиента температуры, т. е. вклад в статический коэффициент теплопроводности. Ясно, что регуляризация расходящегося интеграла должна заключаться в перенормировке коэффициента теплопроводности и вычитании из интеграла его значения при . Легко видеть, что все расходящиеся интегралы, получающиеся при подстановке формул (9) — (11) в уравнения (7), могут быть аналогичным образом регуляризованы путем перенормировки статических кинетических коэффициентов .
4.Влияние флуктуации
В результате получаем следующие окончательные уравнения:
(12)
которые записаны в таком виде, чтобы был ясен вклад флуктуации в потоки импульса и тепла.
Тензоры определены следующими формулами:
Часть поправок к гидродинамическим уравнениям эквивалентна, таким образом, появлению дисперсии (временной и пространственной) кинетических коэффициентов. Кроме того, в выражении для потока тепла появляются члены с градиентами скорости и соответственно в тензоре потока импульса с градиентами температуры. Приведенное выше соотношение между тензорами и находится в согласии с принципом симметрии кинетических коэффициентов.
5.Поправочные члены к характеристикам звука
Полученные уравнения могут быть использованы для вычисления низкочастотной дисперсии звука в жидкостях. Из уравнений (12) легко определить поправочные члены к фазовой скорости звука и к его затуханию .
В результате:
где Ф — безразмерная величина, равная
Относительные поправки к скорости звука и затуханию пропорциональны, таким образом, соответственно и .
Заключение
В результате преобразований видно, что флуктационный механизм является основным для достаточно малых градиентов и поправочные члены не содержат никаких новых параметров и полностью выражаются через входящие в сами гидродинамические уравнения термодинамические функции и кинетические коэффициенты, а основной вклад в поправочные члены вносят такие флуктуации, время затухания которых порядка обратной частоты гидродинамического движения. Также часть поправок к этим уравнениям эквивалентна, таким образом, появлению дисперсии (временной и пространственной) кинетических коэффициентов. Полученные уравнения используются для получения характеристик звука, например, дисперсии. Важно подчеркнуть, что существует целый ряд явлений, которые отсутствуют в гидродинамическои приближении и потому целиком обусловлены именно поправками к гидродинамике.
Литература:
1.А.Ф.Андреев «Поправки к гидродинамике жидкостей», ЖЭТФ 1978г.
2.Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц «Теоретическая физика: Гидродинамика», т.6 1988г.
1