Рассеяние в неоднородных средах и кристаллах / Рассеяние в неодн. средах и кристаллах.doc

Московский институт электронной техники.

Кафедра КФН.

Мурадов П. М.

Курсовая работа

по курсу:

Квантовая теория и

статистическая физика.

Москва 2004

Содержание.

I. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

II. Энергетический критерий когерентности и некогерентности многократного рассеяния волн в случайно-неоднородной среде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Исходные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Сечение поглощения когерентного излучении и связанные с ним величины. . . . . . 5

3. Среда из дипольных точечных рассеивателей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Применений критерия когерентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Приближение однократного рассеяния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Приближение геометрической оптики для среднего поля. . . . . . . . . . . . . . .10

4.3 Резонансное отражение от полупространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

III. Резонансное неупругое рассеяние света в кристаллах12

1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Модель встречных потоков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.1. Комбинационное рассеяние света. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2. Гиперкомбинационное и гиперрэлеевское рассеяние света. . . . . . . . . . . . 16 2.3. Вынужденное комбинационное рассеяние света. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Условия резонанса для различных видов рассеяния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Кристаллические порошки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Плёнки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

6. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

IV. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Введение.

Такие области науки и техники как связь, дистанционное зондирование и обнаружение, передача изображений, биооптика, молекулярная оптика постоянно сталкиваются с проблемами распространения и рассеяния (переноса) электромагнитного излучения радио, СВЧ и оптических частот в средах со случайными неоднородностями (рассеивающих средах). Примерами рассеивающих сред могут служить турбулентная атмосфера и турбулентный океан; ураган, дождь, снег или град; туман, пыль или дым; красные кровяные тельца в крови, молекулы полимеров и другие частицы, совершающие броуновское движение; фотографические слои, молочные стекла, люминесцентные экраны, бумага, листья, лесные покровы.

Для решения проблем переноса излучения в рассеивающих средах используются, подобно тому, как это принято в теоретической физике, феноменологический и микроскопический подходы. Феноменологический подход, более старый, стремится устранить все гипотезы о строении рассеивающей среды и вообще сократить по возможности число исходных предположений. Гипотезы феноменологического подхода представляют собой лишь обобщение опыта, в основном в виде закона сохранения потока энергии излучения, причем этот закон применяется к бесконечно узким по направлению распространения пучкам. Микроскопический подход, напротив, основывается на некоторой физической модели рассеивающей среды и на волновом описании распространения электромагнитного излучения. При этом учитывается, что рассеивающая среда и волновое поле в ней испытывают флуктуации, имея статистический характер.
Надо сразу отметить, что существует обширный круг проблем переноса излучения в физических, геофизических и астрофизических объектах, для решения которых вполне достаточно феноменологического подхода.

В 50-ые годы прошлого столетия перед феноменологической теорией переноса излучения стали возникать вопросы, вынуждавшие ее обратиться к микроскопическому рассмотрению многократного рассеяния волн. Эти вопросы касались свойств когерентности электромагнитного излучения СВЧ и оптических частот, степени когерентности, то есть соотношения или корреляции между амплитудами и фазами волнового поля в разных точках пространства и в разные моменты времени. Микроскопический подход опирается на некоторую модель рассеивающей среды. Одна из моделей дискретной среды может быть представлена как совокупность (ансамбль) диэлектрических частиц, случайно распределенных в заданной области пространства. Каждая частица рассеивает падающую на нее электромагнитную волну согласно волновой теории Максвелла. Сложность такого подхода в том, что частиц много и волна может испытывать многократное рассеяние на них. Кроме того, из- за случайного распределения частиц многократно рассеянное волновое поле требует статистического рассмотрения. Например, требуется усреднить поток энергии рассеянного объемом среды волнового поля по всем возможным конфигурациям ее частиц.

Как выяснилось в результате разработки микроскопического подхода к рассмотрению многократного рассеяния волн в трехмерных рассеивающих средах, особую роль при многократном рассеянии волн играют процессы повторного рассеяния излучения на одном и том же рассеивателе. Такие процессы рассеяния изображаются в виде петель. В каждой петле волна может распространяться путем рассеяния в некотором заданном (прямом) и обратном направлениях, начиная свой путь и заканчивая его на одном и том же (исходном) рассеивателе. Существенно, что набег фазы волны в этих прямом и обратном “каналах “ рассеяния одинаков (если нет таких мешающих факторов как, например, внешнее магнитное поле или броуновское движение рассеивателей). Поэтому волны прямого и обратного каналов рассеяния интерферируют между собой по возвращении к исходному рассеивателю. В качестве исходного “рассеивателя” может служить в частности место расположения источника и приемника волнового излучения вне рассеивающей среды. Тогда, как оказывается, вклад всех “простых “ петель приводит к явлению слабой локализации излучения в рассеивающей среде, в виде эффекта когерентного усиления обратного рассеяния.

I. Энергетический критерий когерентности и некогерентности многократного рассеяния волн в случайно-неоднородной среде.

На основе закона сохранения потока энергии излучения выяснены условия, при исследовании многократного рассеяния электромагнитных волн в случайно неоднородной среде достаточен учет только среднего по ансамблю поля и когда необходим учет флуктуаций поля. Критерий выражается в терминах эффективной диэлектрической проницаемости среды. В качестве иллюстрации рассмотрена задача о рассеянии волны средой, состоящей из точечных дипольных рассеивателей.

К настоящему времени проведено много исследований многократного рассеяния волн, главный результат которых состоит в том, что относительное значение коэффициента экстинкции излучения уменьшается с ростом параметра упаковки рэлеевских парнокоррелированных отталкивающихся рассеивателей πρr ³_min / 6 (ρ- плотность рассеивателей и r_min - минимальное расстояние между их центрами) по сравнению с коэффициентами экстинкции для модели независимых рассеивателей при той же плотности.

Относительное уменьшение коэффициента экстинкции свидетельствует о том, что при рассеянии волн на малом по сравнению с длинной экстинкции объеме среды убывает доля энергии излучения, переходящей от когерентной составляющей поля к некогерентной (флуктуационной). В связи с этим представляет интерес сформулировать количественный критерий когерентности и некогерентности многократного рассеяния электромагнитных волн на объёме случайно- неоднородной среды произвольных размеров. В данной работе такой критерий формулируется на основе закона сохранения потока энергии излучения в теории многократного рассеяния волн и определения тензора эффективной диэлектрической проницаемости среды. Критерий поясняется на примере задачи о рассеянии волны средой, состоящей из коррелированных точечных дипольных резонаторов или рэлеевских рассеивателей.

1. Исходные уравнения.

Исходим из стохастических уравнений Максвелла для монохроматического электромагнитного поля в случайно- неоднородной дискретной или непрерывной среде

rot E = i (ω/c)H, rot H = - i (ω/c)D + (4π/c)j, D = εH . (1)

Здесь ε(r) - вещественная диэлектрическая проницаемость среды, являющаяся случайной функцией точки пространства. Тензор эффективной диэлектрической проницаемости среды ε^эфф_ij

вводится соотношением

<D_i(r)>= ∫ d³ r' ε^эфф_ij (r, r')<E_j(r')>, (2)

где угловые скобки означают усреднение по ансамблю сред и производится суммирование по повторяющемуся индексу.

Обозначим S_ког вектор Пойнтинга среднего по ансамблю электромагнитного поля,

S_ког = (c/8π) Re(<E><H^*>) , (3)

который будем называть вектором Пойнтинга когерентного излучения; звёздочка означает переход к комплексно- сопряженной величине. Из уравнений Максвелла (1) и соотношения (2) получается формула

div S_ког = - (1/2) Re(j <E^*>) + (ω/8π) Im(<E><D^*>). (4)

Наряду с (3) вводим вектор Пойнтинга, отвечающий флуктуационной части поля,

S_неког = <S> - S_ког = (c/8π) Re(ÊĤ^*), S = (c/8π) Re(EH^*),

(5)

Ê = E - <E>, Ĥ = H - <H>,

и называется также вектором Пойнтинга некогерентого излучения. На основании закона сохранения потока электромагнитного поля записывается уравнение

div (S_ког + S_неког) = - (1/2) Re(j <E^*>), (6)

регулирующее преобразование потока энергии между когерентным и некогерентным излучением.

2. Сечение поглощения когерентного излучения и связанные с ним величины.

Пусть на ограниченную рассеивающую среду падает плоская волна с напряженностью электрического поля

E₀(r) = E₀ exp(I k₀ n₀ r), (E₀ n₀) = 0 (7)

где k₀² = ε₀(ω/c)², ε₀ - диэлектрическая проницаемость однородной среды, n₀ - единичный вектор вдоль направления распространения волны. Решаем задачу дифракции для напряженностей средних электрического и магнитного полей, удовлетворяющих усредненным уравнениям Максвелла (1) и соотношению (2). Подставляя полученное решение в (3), вычислим величину

C_{ког. погл.}= - (S₀ n₀)^-1 lim r² ∫ d² n (S_ког n), (8)

^{r→∞ n=1}

представляющую собой сечение поглощения когерентного излучения. Здесь S₀ - вектор Пойнтинга падающей волны (7), начало координат r = rn помещено внутри среды, d²n - элемент телесного угла в направлении единичного вектора n, интегрирование производится по сфере радиуса r→∞. В силу (4) сечение поглощения (8) преобразуется к виду

С_{ког. погл.} = (9)

с использованием соотношения взаимности ε^эфф_ij (r, r') = ε^эфф_ji (r, r') .

Физический смысл сечения поглощения когерентного излучения (8) становится ясным после введения величины

(11)

определяемой с помощью (5) и представляющей собой полное сечение рассеяния. Из закона сохранения потока энергии (6) (источник j(r) сосредоточен в бесконечности) получаем равенство

C_{ког. погл.} = С_неког. (12)

Оно означает, что поглощаемый поток энергии среднего поля полностью переходит в поток энергии флуктуационной части поля. Среднее поле испытывает в среде, кроме отмеченного поглощения, когерентное рассеяние, характеризуемое вектором Пойнтинга

S_{ког. рас.} = (c/8π) Re[(<E> - E₀) (<H^*> - H^*₀)] (13)

и полным сечением

. (14)

Условие

C_неког / C_{ког.рас.} << 1, (15)

означающее, что относительный вклад флуктуационного поля в поток энергии рассеянного излучения пренебрежимо мал, позволяет при решении задачи рассеяния ограничиться с энергетической точки зрения учетом только среднего электромагнитного поля, пренебрегая его флуктуационной составляющей. Напротив, если левая часть (15) не мала по сравнению с единицей, то учет вклада флуктуационной составляющей поля в поток энергии рассеянного излучения необходим. Таким образом, в зависимости от того, выполняется условие (15) или нет, объем среды рассеивает падающую на него волну с энергетической точки зрения когерентно или некогерентно.

Рассеивающую среду, которая в среднем является слоистой, удобно характеризовать отражательными и пропускательными способностями. Допустим, что такая среда занимает область пространства 0 ≤ z ≤ L , в прямоугольной системе координат x, y, z и волна (7) падает на границу z=0. Отражательная и пропускательная способности слоя для когерентного излучения R_ког и T_ког определяются с помощью вектора Пойнтинга среднего поля (3) как

R_ког = - S^отр_{ког z}(0) / S_z⁰(0), T_ког = S^прош_{ког z} (L) / S_z⁰(L). (16)

Здесь S^отр_{ког z}(0), S^прош_{ког z} (L) - z- компонента вектора Пойнтинга среднего поля отраженной от слоя и прошедшей через слой волны. Отражательная и пропускательная способности слоя для некогерентного излучения R_неког и T_неког определяются с помощью вектора Пойнтинга флуктуационной части поля (5) подобным образом:

R_неког = - S^отр_{неког z}(0) / S_z⁰(0), T_неког = S^прош_{неког z} (L) / S_z⁰(L), (17)

Из закона сохранения потока энергии (6) получим равенство

R_ког + T_ког = 1 - (R_неког + T_неког), (18)

эквивалентное физическому смыслу (12). С помощью (4) находим

R_неког + T_неког = (19)

что заменяет (9). Здесь

(20)

- перпендикулярный оси z вещественный волновой вектор. Наконец, критерий когерентности рассеяния волны средой в виде слоя записывается так

R_неког + T_неког << 1 (21)

3. Среда из дипольных точечных рассеивателей.

Дипольный точечный изолированный рассеиватель характеризуется своей поляризуемостью α, определяющей рассеянное им электрическое поле и удовлетворяющей оптической теореме

α^''= (2/3) k³₀ |χ²|,

штрихом и двумя штрихами мы обозначаем вещественную и мнимую части величины. Поляризуемость дипольных резонаторов, рассматриваемых в классической теории дисперсии света, даётся выражением

(22)

где e и m - заряд и масса электрона, ω₀ - резонансная частота, γ - постоянная затухания свободных колебаний резонатора. Поляризуемость рэлеевского сферического рассеивателя с диэлектрической проницаемостью ε₁ радиусом r₀ равна

(23)

Если радиус взаимных корреляций дипольных резонаторов l_ког мал по сравнению с длиной волны, k₀ l_ког << 1, то тензор эффективной диэлектрической проницаемости среды имеет вид

(24)

и ε_эфф(r) находится из формулы Лоренц- Лорентца

(25)

Здесь ε_эфф и γ_эфф - эффективные резонансная частота и постоянная затухания резонаторов в ансамбле, парная корреляционная функция с нормировкой и S_ф(0) - значение при нулевом аргументе структурного фактора ансамбля резонаторов (рассеивателей), и - средний квадрат флуктуаций и среднее число рассеивателей в фиксированном объёме, k_б - постоянная Больцмана, T - температура, - изометрическая сжимаемость среды. Численное значение величины S_ф(0) существенно зависит от от состояния ансамбля рассеивателей, которое предполагается термодинамически равновесным. Для идеального газа S_ф(0) = 1 , а в случае жидкости вдали от критической точки фазового перехода эта величина мала по сравнению с единицей; вблизи критической точки жидкости значение S_ф(0) неограниченно возрастает, приводя к явлению критической опалесценции света.

Заметим, что формула (25) для может быть переписана на основании (22) как

(26)

С таким значением формула Лоренц- Лорентца (25) верна и в случае ансамбля рэлеевских рассеивателей с достаточно малой поляризуемостью (23) , когда правая часть (26) раскладывается в сумму ряда геометрической прогрессии.

Исходя из формулы Лоренц- Лорентца (25) , определяются эффективный комплексный показатель преломления и коэффициент экстинкции h =2 k₀ n''_эфф. Для частоты, далёкой от резонансной,

, | |<<1, (27)

они имеют значения

(28)

При этом вещественная часть эффективного показателя преломления мало отклоняется от единицы, а коэффициент экстинкции отличается множителем S_ф(0) от полученного Рэлеем.