Свойства суспензии сферических магнитных частиц / Свойства суспензии сферических магнитных частиц.doc
Московский институт электронной техники.
(Технический Университет)
Кафедра КФН.
Голохов М.Г.
Курсовая работа
по курсу:
Квантовая теория и
статистическая физика.
Москва 2004 г.
Введение.
В данной курсовой работе мы рассмотрим электропроводную ньютоновскую жидкость, в которой взвешено большее количество твердых сферических однородно намагниченных частиц. Мы также установим, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических магнитных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.
Эффективная вязкость суспензии магнитных частиц в
электропроводной жидкости.
Для начала вычислим эффективную вязкость суспензии твердых шариков. Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью , отличной от вязкости основной жидкости. Эта вязкость может быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных частиц (т.е. суммарный объем всех частиц предполагается малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц.
В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погруженный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее постоянным градиентом скорости. Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей
, (1)
где - постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости при этом постоянно: ; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости () тензор должен иметь равной нулю след:
. (2)
Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса . Скорость измененного им течения обозначим посредством ; на бесконечности должно обращаться в нуль, но вблизи шарика отнюдь не мало по сравнению с . Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: при .
Рассмотрим уравнение Навье-Стокса для движений с малым числом Рейнольдса. Для стационарного движения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид
.
Член имеет порядок величины . Выражение же . Отношение первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса. Поэтому при членом можно пренебречь, и уравнение движения сводится к линейному уравнению
. (3)
Вместе с уравнением непрерывности
(4)
оно полностью определяет движение. Полезно также заметить уравнение
, (5)
получающееся применением операции к уравнению (3)
Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара в вязкой жидкости. Эта задача вполне эквивалентна задаче об обтекании шара потоком жидкости, имеющим на бесконечность заданную скорость . Распределение скоростей в первой задаче получается из решения второй задачи просто вычитанием скорости ; тогда жидкость на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со скоростью - . Если мы рассматриваем движение как стационарное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем.
Поскольку , то может быть представлена в виде ротора некоторого вектора :
,
причем обращается на бесконечность в нуль. Вектор должен быть аксиальным для того, чтобы его ротор был полярным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью симметричного тела-шара-нет никаких выделенных направлений за исключением направления . Этот параметр должен входить в линейно - в виду линейности уравнения движения и граничных условий к нему. Общий вид векторной функции , удовлетворяющей всем этим требованиям, есть , где - единичный вектор в направлении радиус-вектора (начало координат выбираем в центре шара), а - скалярная функция от . Произведение можно представить в виде градиента некоторой другой функции . Таким образом, получаем
, (6)
где , , .
Искомое решение уравнений движения (3)-(5) может быть получено непосредственно из найденного решения (6), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора (а не от вектора ). Таковым является
,
где () обозначает вектор с компонентами . Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные и в функции так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления:
, (7)
(8)
(- единичный вектор в направлении радиус-вектора).
Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса , совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений - :
.
Интегрирование можно производить здесь по объему сферы большего радиуса, который затем устремляется к бесконечности.
Прежде всего, пишем тождественно:
. (9)
В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследование внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравнения движения имеет место тождество
;
поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает
.
Член с мы опустили, имея в виду, что среднее давление непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора ; но единственный такой скаляр ).
При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (7) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены ~. Простое вычисление дает для этого интеграла
,
где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора . Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора представляют собой симметричные тензоры, которые могут быть составлены только из единичных тензоров . Имея это в виду, легко найти, что
, .
Производя усреднение, получаем окончательно:
. (10)
Первое слагаемое в (10) после подстановки в него из (1) дает ; член же первого порядка малости в этом слагаемом тождественно обращается в ноль после усреднения по направлениям (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в (9) интеграле). Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии определяется отношением второго члена в (10) к первому. Таким образом, получим
, , (11)
где - малое отношение суммарного объема всех шариков к полному объему суспензии.
Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения и окончательные формулы становятся очень громоздкими. В потоке суспензии с нешарообразными частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и дезориентирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизотропное распределение частиц по их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычислении поправки к вязкости : анизотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости (в первом приближении - линейно) и ее учет привел бы к появлению в тензоре напряжений нелинейных по градиентам членов.
Представляет интерес изучить этот вопрос для суспензии магнитных частиц в электропроводной жидкости. Хотя в отсутствии внешних полей такая суспензия не обладает макроскопической намагниченностью и в ней нет макроскопических токов проводимости, локальные магнитные поля частиц и индуцируемые ими в окрестности частиц токи придают задаче большое своеобразие.
Рассмотрим электропроводную ньютоновскую жидкость* [см. стр. 11], в которой взвешено большое количество твердых сферических однородно намагниченных частиц. Вычислим эффективную вязкость и тензор вязких напряжений такой среды, следуя программе энергетического метода. Покажем, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.
Отправной точкой энергетического метода является исследование магнитной гидродинамики в окрестности уединенной частицы, помещенной в потенциальный поток
. (12)
Здесь - постоянный тензор** [см. стр. 11] скорости деформации невозмущенного частицей течения. В случае чисто вязкого обтекания для скорости и давления найдено:
,
. (13)
Здесь - радиус частицы, - расстояние от начала координат, где помещена частица, - вязкость несущей жидкости. Расчет дополнительных возмущений, вносимых МГД-эффектами. В приближении малых значений чисел Гартмана, Рейнольдса и магнитного числа Рейнольдса для поправок давления , скорости , электрических потенциалов индуцированного поля в жидкости () и в частице () найдено:
,
, (14)
.
Здесь - величина магнитного момента частицы и - его орт, - коэффициенты электропроводимости жидкости () и частицы (), - скорость света.
Энергию, диссипируемую в единице объема суспензии за единицу времени, вычислим как произведение числа частиц в единице объема на вклад отдельной частицы:
. (15)
Здесь первый интеграл вычисляется по объему жидкости, а второй - частицы; далее
-
тензор напряжений в жидкости,
, () - (16)
плотность тока проводимости в жидкости и частице, - напряженность магнитного поля в жидкости. Отметим, что плотность тока в (16) определяется по чисто вязкому профилю скорости (13) и невозмущенной напряженности поля , . Учитывая уравнения движения
, ,
имеем
.
Используя (16) и закон сохранения заряда , запишем
,
.
Тогда в первом приближении по возмущению
. (17)
Здесь - чисто вязкий вклад. Переходя в (17) к интегралам по поверхности и учитывая непрерывность на поверхности частицы электрического потенциала и нормальной компоненты тока, имеем
(18)
Здесь - внешняя поверхность объема , - нормаль к ней. При интегрировании по бесконечно удаленной поверхности сохранится вклад слагаемых в подынтегральном выражении, уменьшающихся с расстоянием как. Используя соотношения (13), (14), (16), найдем, что вклад электромагнитного слагаемого обращается в нуль, а в разложениях по степеням ненулевой вклад дадут члены разложения
;
; (19)
,
.
В результате интегрирования находим выражение через тензор скорости деформации невозмущенного течения
(20)
Здесь
, ,
;
,
, .
Средний тензор скорости вычисляется путем усреднения локального значения тензора скорости сдвига
,
по объему, содержащему большое число частиц. Окончательный результат вычислений, следующий:
. (21)
Здесь
,
. (22)
, .
Эффективная вязкость суспензии есть тензор четвертого ранга в выражении мощности диссипации через средний тензор скорости сдвига:
. (23)
Соотношение (23) можно получить из соотношения (10), подставив в него выражение для тензора скорости деформации невозмущенного течения через усредненный тензор деформации , разрешив уравнение (21) относительно :
. (24)
Здесь - тензор, обратный тензору , компоненты которого определяются системой уравнений
. (25)
Подставив (24) в (10) с учетом (23), получим следующее:
. (26)
Отыскиваем в виде комбинации определяющих тензорных параметров , квадратичной по , симметричной относительно перестановок индексов в первой и второй парах:
(27)
Подставляя (27) в (25) и собирая слагаемые при одинаковых тензорных комбинациях, находим неизвестные постоянные в (27) в виде
, ,
, .
С помощью (27), (28), (21), (26) находим
. (28)
Кинетические коэффициенты определяются формулами
, , ,
.
Здесь
, , ,
.
Производя вычисления по полученным формулам с сохранением членов ~ но отбрасывая ~, находим
,
, , . (29)
Выполненные расчеты отвечают полной аксиальной упорядоченности ориентации магнитных моментов. Если, наоборот, частицы ориентированы случайным образом, вязкость вырождается в скаляр:
. (30)
Вычисленная поправка сравнима с поправкой Эйнштейна при .
Для частиц железа и ртути это дает характерный размер см.
Тензор вязких напряжений в магнитной электропроводной суспензии, движущейся свободно, без воздействия внешних полей, есть
(31)
Соотношение (31) с точностью до коэффициентов тождественно известному результату для тензора вязких напряжений суспензии эллипсоидов вращения. Это естественно, поскольку в обоих случаях симметрия среды определяется вектором-направлением.
Для гидродинамического описания суспензии наряду с уравнениями
, (32)
необходимо привлечь уравнения изменения . Его можно получить, исключив в кинематическом соотношении
(33)
скорость вращения частицы с помощью уравнения баланса действующих на частицу моментов сил. Сферическая частица в потоке электропроводной жидкости испытывает ориентирующий момент
, .
Он уравновешивается моментом трения, который с учетом МГД-эффектов и с учетом соотношения (24)
,
МГД-поправка к моменту трения пропорциональна и зависит от взаимной ориентации векторов . Эта зависимость, однако мала (~10%), и можно считать
, .
Найдя из уравнения и подставляя его в (33), получим
. (34)
Сохраняя члены ~ и отбрасывая ~, имеем
.
Уравнение (34) с точностью до совпадает с уравнением динамики единичного вектора оси вращения эллипсоида.
Соотношения (31) и (34) показывают, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.
*Н.ж.- вязкая жидкость подчиняющаяся при своем течении закону вязкого трения Ньютона. Для прямолинейного ламинарного течения этот закон устанавливает наличие линейной зависимости между касательной напряжением в плоскостях соприкосновения слоев жидкости и производной от скорости течения по направлению нормали к этим плоскостям () - динамический коэффициент вязкости. В общем случае пространственного течения для Н.ж. имеет место линейная зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформации . Свойствами Н.ж. обладают большинство жидкостей (вода, смазочное масло) и все газы. Жидкости, для которых указанные выше зависимости не являются линейными, называются неньютоновскими жидкостями. К ним относятся ряд суспензий и растворов полимеров.
**Тензор - абстрактный объект T, имеющий определенную систему компонент в каждой рассмотренной системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты изменяются по вполне определенному закону. Каждая точка n-мерного пространства задается в выбранной системе координат набором n-чисел (). Переход от одной системы координат к другой означает преобразование и выполняются следующие свойства:
1. где и - непрерывно диф-мые функции;
2. якобиан преобразования ;
Тензор ранга 0 -тензор, имеющий только одну компоненту с одним и тем же значением, во всех координатных системах является скаляром. Примеры скаляров в физике - масса, заряд. Тензор ранга 1 является вектором. Примеры векторов в трехмерном пространстве - скорость, импульс, сила, напряженность электрических и магнитных полей. Некоторые тензоры ранга 2 также имеют специальные названия в геометрии и физике, теории римановых пространств и в теории относительности, тензор напряжений и тензор деформации в механике сплошной среды и т. д.
В заключение отметим, что при расчете диссипации мы не учитывали вклад, связанный с вращением частицы, отличным от квазитвердого вращения с жидкостью. Это привело бы к возникновению перекрестных эффектов между симметричной и антисимметричной составляющими тензора скорости деформации, имеющих второй порядок малости по . Использование стационарного решения для обтекания частицы обосновано малым временем установления профиля обтекания по сравнению с макроскопическим гидродинамическим временем: .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ: