Лекции по теоретической механике и теории поля / ТМ и ТП.doc

Московский институт электронной техники

Технический университет

А.Г. Фокин

Теоретическая механика и теория поля

(конспект лекций)

Математический аппарат в теоретической физике (механике).

Для, того чтобы задать пространственное положение системы нужно координаты. В простейшем случае - декартовые координаты:

Материальная точка (м.т.) DN - число координат, которое необходимое для

Размер пространства (D) задания координат.

Число точек (N) Связи - любое ограничение, накладываемое на движение системы.

r₁ , r_N ; r_a=(x_a,y_a,z_a); r_ai-номер проекции на ось. x - 1

y - 2 D=3

z - 3

Голономные связи - могут быть выражены через координаты точек через равенства:

R_N=(r₁ … r₂)

φ_α(R_N,t)=0 - уравнение k^-атой связи. α€[1;k],k - число связей.

Если присоединить время, то связь не стационарная - усложняет теорию.

Стационарные связи.

φα(R_N)=0; k-уравнений, k - координаты могут быть выражены через другие. n≡DN-k

n - число степеней свободы - число независимых координат (перемещений), задающих пространству положение системы, они независимы.

Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называется обобщенными координатами.

Плоский математический маятник.

k

0 Y

D=2

n=1

l

φ

l=√x² + y² = const

уравнение связи (голономная)

n=2*1-1=1

m x=l*cosφ

y=l*sinφ

X

Пространственно обобщенных координат - конфигурационное пр-во (воим - это угол). Как правило ортогонально.

q_i , i€[1,n]

q - n-мерный вектор.

D=3

1

q

изображенная 2

траектория

изображение

точки

конфигур. реальное

пр-во

q

q^| - полная производная по времени- скорость.

dq_i /dt≡q^|_i ≡ тождественно или по определению.

Эволюция системы - развитие системы - движение изображения точки по изображенной траектории, которая соответствует движению реальных точек в реальном пространстве по реальным траекториям (в механике).

Задачей в механике является описание эволюции системы (механической).

Набор обобщенных координат и скоростей - динамические элементы.

[q + q^|] - динамические элементы (переменные).

Этот вариант динамических переменных используется в методе Лагранжа.

Лекция №2

Принцип наименьшего действия

Вариация - изменение функции для данной координаты

Вариации координат и функций.

y=y(x); dy=y^/ * dх;

2 dx→0;dy→0;

δy

y(x)

dy

dx

1

x

Вариации бесконечно малые (произвольные)

q₂ t₂

δq

δq₁,δq_i;; →δq_i в общем случае.

L=L(q) Эйнштейн

F=f(q)=

t₁

q₁

Рассмотрим линейную часть по приращению первой вариации.

n=1 δF(q)=F^|δq=δq

; ;

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона).

Из всех возможных траекторий движения системы в этом конф. пространстве реализуется та, для которой вариация действия равна 0.

функционал t.

L - функция Лагранжа (функция динамических переменных)

δS=0уравнения движения Лагранжа.

Конечные точки траектории зафиксированы→вариации координат в эти моменты равны 0.

,; ;δ, - коммутат. (перестановочные)

δq_i→; ;

;

- вариация на концах = 0

;подъинтегральное выражение = 0;

вариации координат не зависимы линейно. F_i=0 →

Функция Лагранжа и её свойства.

L=T(кинетическая энергия)-U(потенциальная энергия)

U=U(x,t) - внешнее поле не стационарно.

U=U(x) - стационарное поле.

Если U(x)=0 то свободная материальная точка.

1. Уравнение движения Лагранжа инвариантно

; ;

;т.к. функции через вариации координат, а они на концах равны 0.

Функция Лагранжа простейших систем.

для 1 м.т.

n=D

система n материальных точек.

Кинетическая энергия материальных точек аддитивна.

экстенсивный параметр - параметр зависит от размеров системы

потенциальная энергия:

U включает взаимодействия 1) из вне

2) между частиц (внутри)

внешнее воздействие аддитивно.

N=3 1 2

3

N=2: U_int=U₁₂

L=T-U

а) стационарное поле

б) замкнутая система

- для замкнутой системы

Пространство замкнутой системы двух материальных точек.

одинаковые частицы:m₁=m₂

маятник: D=2;n=1

k=1

;U=mgl(1-cosθ)

l

θ

m

Можно получить уравнение движения Лагранжа.

рассмотрим малые колебания:

Свойства симметрии пространства и времени.

Для замкнутой системы реализуются свойства:

t₁,t₂ - начало наблюдения для системы. Для замкнутой системы выбор роли не играет.

Свойства однородности:

,τ-время смещения начала отсчета.

f(t)

-обобщенная координата, - обобщенная скорость

используя формулу:

Интеграл движения.

Рассмотрим функцию динамических переменных и времени.

- сохраняющая своё значение при эволюции системы (при движении в конфигурационном пространстве).

Определение:

интеграл движения 1-я функция динамических переменных и времени, сохраняющая свое значение при движение системы в конфигурационном пространстве по избранной траектории

в случае стационарных связей этот интеграл движения есть энергия.

Метод Лагранжа T+U=E

Закон сохранения энергии - следствие однородности времени для замкнутой системы.

=0 E=const - для стационарных внешних полей.

Свойство однородности пространства.

Транс. в пр-ве - перемещение системы как целого на одно расстояние вектора.

Замкнутая система:

однородность пространства обозначает инвариантность f-ций Лагранжа относительно преобразований пространства.

Инвариантность:

Уравнение движения:

P_x=c₁

P_y=c₂

P_z=c₃
Если система и уравнение движения инвариантны, то пространство однородно и импульс сохраняется.

Если пространство однородно на 1 или 2 направлении из 3-х, то по этим направления импульс сохраняется.

Циклические координаты.

Координаты от которых функция Лагранжа явно не зависит, называется циклической.

i-ая обобщенная координата

Обобщенный импульс.

для циклической координаты

задача двух тел и сведение её к эквивалентной - одномерной.

Момент импульса:

изотропное пространство:

если однородное пространство говорит о том, что мы любую точку можем выбрать начальной координатой, то изотропное пространство является следствием инвариантности относительно имеет следствие к тому, что любое направление можно взять начальным.

Центральное поле - сферически симметричное.

Для замкнутой системы имеет место инвариантность системы как целого относительно любых вращений (вокруг любой оси).

Изменение вектора при бесконечно малом повороте.

δφ

инвариантность относительно вращения

приводит к сохранению

момента импульса М.

θ

изотропность пространства имеет следствием закон сохранения момента импульса.

Каждой проекции момента импульса соответствует ось вращения относительно которой имеет место инвариантность системы.

Если поле допускает -

Вращение инвариаций относительно некоторой оси, то в этом случае имеет место закон сохранения проекций М на эту ось.

Замкнутая система M=const.

Система, находящаяся во внешнем поле с осевой симметрией допускает закон сохранения проекций М на эту ось.

Задача:

Замкнутая система двух материальных точек.

L(......)=T-U; U - не зависит от времени. Т=Т₁+Т₂

однородность пространства:

r=r₁+r₂ U=U(r)

r₁ R

0 r₂

R - Центр масс, r - радиус-вектор определяемый положением второй точки относительно первой.

R-циклическая координата

M, R, V, m₁, r₁, v₁,

m, r, v, m₂, r₂, v₂,

R - Циклическая, следовательно ей соответствует интеграл движения.

0 r

относительно центра поля момент импульса равен 0.

r и p - в одной плоскости, следовательно частица движется в одной плоскости.

Если

2 степени свободы.

φ - циклическая координата.

эффективный потенциал.

U_эф

r₁ r₀ r₂

U

Одномерная задача:

E=U_ef; r^|=0; точка поворота: по касательной к кривой.

y

b

r

r_- 0 a r₊ x

Финитное и инфинитное движения.

Финитное движение - движение в ограниченной части пространства (вся траектория в конечном объёме). Если траектория уходит в бесконечность - инфинитное движение (гипербола и парабола, 4 и 5 вид движения)

U

Лекция 5: малые колебания.

U=U(q)

0 1 2 q

- условие экстремума определяю точки равновесия системы

> неустойчивое
< - устойчивое равновесие, вывод из равновесия приводит к стремлению вернуться в это положение.

Рассмотрим 1.

Если систему вывести из равновесия и предоставить самой себе, она будет совершать колебания вблизи этого положения. Диссипативные силы отсутствуют - незатухающие колебания.

Колебания системы с одной степенью свободы.

q₀ - положение равновесия (устойчивое)

если последние слагаемые меньше, чем предыдущие, то это малые колебания.

- критерий малости колебаний - гармонические.

Если последние слагаемые необходимо учитывать, то колебания - ангармонические - нелинейные.

дисперсионное уравнение:

=0 - дисперсное уравнение.

Алгебраическое уравнение, которое ставится в соответствие дифференциальному после подстановки

- изменяема величина - физический смысл.

условие не тривиальности решения (1):

Лекция №6.

Колебания системы с n степенями свободы.

L=T-U;-стационарная задача.

Будем считать, что последними членами можно пренебречь, если () достаточно мал.

=k_ij - матрица - положительно определённая.

k_ij>0 - обозначение устойчивого положения равновесия.

0,5;

m - Некоторая коэффициентная масса в декартовой С.О.

кинетическая энергия - квадратичная форма скоростей.

L=T-U=

1 2 3 4 матрица положительна, если все миноры >0 - правило Сильвестра.

Уравнение движения:

получаем: ;

Условие не тривиальности решения:

det[ ]=0 - дисперс. уравнение.

дает n корней. , p - индекс собственной частоты.

решением дисперсионного уравнения является спектр собственных частот.

координаты, которые совершают колебание по такому закону в спет. с n степенями свободы - нормальные координаты.

- исходные координаты.

- решение нормальных координат.

система разбивается на n независимых одном. осцилляторов. Получим легко их решения.

Решение - суперпозиция всех осцилляторов.

Эллипсоид:

приведём матрицу к диагональному виду. Решение требует 2n начальных условий.

Лекция№7

Преобразования Лагранжа.

Лагранж.

, - динамические переменные

Гамильтон:

Каноническое уравнение (движения) Гамильтона.

n уравнений 2го порядка.

Динамические переменные в методе Лагранжа и Гамильтона.

p_i,q_i - динамически сопряженные.

Лекций №8

Описание эволюции системы в фазовом пространстве.

q₃ n=3; n=DN-K;

q₁

q₂

механическое состояние (динамическое)

зная

Метод Гамильтона:

Фазовое пространство - пространство обобщенных координат и обобщенных импульсов.

точка в фазовом пространстве - фазовая точка. Эта точка описывает состояние системы.

(p,q) - состояние системы с 1ой ст. св.

траектория фазовая - описывает эволюцию системы.

n=1

p

q