Ответы на вопросы по квантовой механике / кванты.doc

Вопрос 1. Классическое и квантовое описание системы.

Опыт № 1. Имеется источник частиц, экран с достаточно узким отверстием. Картину наблюдаем на Э2

Опыт № 2. Заменяем Э1 на Э1^/.

Опыт № 3. Объединяем экраны Э1 и Э1^/

При классическом описании опыт 3 давал бы сложение интенсивностей от опыта 1 и 2. Однако опыт 3 показал интерференционную картину, а это волновые свойства. Частица с определенной вероятностью проходит как через щель 1 так и через щель 2. Нельзя точно сказать через какую щель пройдет электрон.

Классическая интерпретация (с числом степеней свободы n=1) решается составлением уравнений в форме Гамильтона:

Можно найти траекторию частицы.

В общем случае состояние механической системы определяется 2n динамическими переменными. Т. е. 2n начальных условий.

Но опыт показал, что мы не можем определить траекторию частицы в микромире.

Количество динамических переменных, которые могут быть одновременно измерены в микромире, в квантовой механике - n.

Скорость

Координата

Если известна точка , то чтобы найти положение точки надо знать и одновременно, т. е. координаты и импульс должны быть измерены одновременно.

Если мы знаем и , то можем построить траекторию электрона. Однако построить такую траекторию мы не можем (опыт № 3). Тогда мы не можем одновременно измерить p и q.

Вопрос 2 Принцип неопределенности.

Две формулировки:

В трехмерном пространстве канонически сопряженные величины будут:

p_x и x

p_y и y

p_z и z

Здесь n=3. Имеем 3 одновременно измеряемые динамические переменные. Например:

Вопрос 4. Полный набор динамических переменных

Полный набор динамических переменных - это наибольший набор независимых одновременно измеряемых динамических переменных.

Измерение полного набора динамических переменных полностью определяет состояние квантово-механической системы.

Число динамических переменных в квантовой системе - n и по сравнению с классической системой (2n) уменьшается в 2 раза.

Максимальный набор - это значит, что к этому набору не может быть добавлена ни одна другая переменная, которая не являлась бы их функцией. В этом случае они не зависимы. Каждая из этих переменных не является функцией другой переменной из этого же набора. Заметим, что здесь зависимость не линейная (как в лин. алгебре), а функциональная.

Вопрос 6 Принцип суперпозиции состояний

Если мы имеем состояние системы, описываемое функцией , то суперпозиции этих функций отвечает некоторое состояние этой системы

Иначе: если - состояние некоторой системы, то суперпозиция этих состояний также является состоянием этой системы.

Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется - функция должны быть линейными.

Этот же вывод распространяется и на операторы и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.

Вопрос 8 Понятие о теории представлений

Представление - это совокупность переменных в которых решается задача (т. е. набор динамических переменных).

Рассмотрим одну материальную точку. Число степеней свободы n=3.

Здесь могут быть 2 случая:

Операторы в -представлении:

Оператор координаты

Оператор импульса *

Здесь

Операторы в -представлении

Оператор координаты *

Оператор импульса

Здесь

Мы в основном будем использовать -представление.

Результаты измерения от вида представления не зависят!

Вопрос 3. Постулаты квантовой механики.

Часто выделяют 4 постулата:

Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.

Динамические переменные одновременно измеряемы. - n - мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени - описывает эволюцию квантово-механических систем.

В классической механике задание 2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона.

В квантово-механической системе описывается эволюция системы через - функцию от n динамических переменных.

Каждой физической величине ставится во взаимооднозначное соответствие оператор: .

- значение физической величины , которое получено в результате измерения системы, находящейся в i-том квантовом состоянии.

является одним из собственных значений оператора . Это задача Штурма - Лиувилля (задача на собственные функции и собственные значения). Задача определяет собственные значения , соответствующие и определяет собственные функции , соответствующие собственным значениям .

Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре.

Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.

здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства.

Гильбертово пространство - это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций).

- квадратично интегрируемые функции, тогда

Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан.

* - комплексное сопряжение.

Это аналог длины в векторном пространстве.

Вопрос 5 Волновая функция и ее свойства.

Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы точностью до фазового множителя. Т. е.

т. е. , описывает одно и тоже состояние, где - фазовый множитель.

Волновая функция - комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки).

Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точки не нормируема.

- элементарный объем

- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале .

Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций.

Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.

Вопрос 7 Операторы в квантовой механике

В силу принципа суперпозиции в квантовой механике используются линейные операторы.

Линейный оператор - это такой оператор действующий на , что

(1)

(2)

здесь

Линейность:

Если , то (3)

т.к. , то из (3)

Сопряженный оператор - это оператор, который связан с данным оператором соотношением:

или

Отсюда

Если - то оператор называется эрмитовым.

Транспонированный оператор

Отметим следующие свойства:

1)

(4)

Из выражения (4) получаем

2)

3)

Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает

Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает

В общем случае не коммутативны

Коммутатор

Если , то операторы коммутативны.

Если , то операторы не коммутативны.

Так как физические величины вещественны, то число операторов в квантовой механике сужается.

Сужение класса операторов - эрмитовость операторов.

Запишем определение среднего:

Так как результаты измерений вещественны, то тоже должно быть вещественным, т.е.

(5)

тогда

,

т.е.

Обозначим , тогда

Тогда из (5) получаем

(6)

Из (6) имеем для любых :

,,

где (сопряженный и транспонированный)Вопрос 10. 11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случаи дискретного и непрерывного спектров.

Начнем с дискретного спектра, т.к. ему соответствует квадратичноинтегрируемые функции.

Задача Штурма-Лиувилля дискретного спектра

(1)

-собственные функции

- собственные значения

Так как эрмитов, то его собственные значения вещественны.

Расчет среднего . Если речь идет о физической величине, то это волновые функции (описывающие состояние системы). Если речь идет о математическом аппарате, то - это любые функции.

Как частные случай рассмотрим , где - собственные функции оператора . Тогда

{Так как - число, то его можно вынести за знак скалярного произведения} - это среднее значение величины в i-ом квантовом состоянии.

Так как среднее - вещественно, то и собственные значения вещественны.

Для эрмитова оператора собственные значения вещественны . Все эрмитовы операторы имеют вещественные спектры.

Рассмотрим теперь

(2)

Умножая (1) скалярно на слева, получим

(3)

Теперь (2) умножаем справа на , тогда

(4)

Почленно из (3) - (4):

(5) т.к. - эрмитов, то . Из (5) имеем . (6)

Рассмотрим случай невырожденного спектра:

Спектр вырожденный, если одному собственному значению

соответствуют несколько собственных функций.

Например:

Невырожденный спектр - все собственные значения различные.

1) Рассмотрим (6) при , тогда , .

2) Теперь пусть . В этом случае скалярное произведение . Обычно вводят нормировку .

1 и 2 дает условие ортонормируемости .

Утверждается, что собственные функции эрмитового оператора с дискретным спектром образуют полную систему, т.е. обладают свойством полноты. Это верно для функций квантовой механики. Утверждение означает, что произвольную функцию можно разложить по собственным функция эрмитовова оператора как по базису.

Запишем это разложение:

, (9)

где индекс i пробегает по всем значениям, удовлетворяющим задаче (1).

Формулу (9) следует отличать от принципа суперпозиции

,

где - вес состояния и суммирование ведется по произвольным a=1,…,k. Заметим, что если (модель Юнга с ширмой и электроном), то .

Найдем коэффициенты из (9). Домножим скалярно (9) на , тогда имеем {из условия ортонормированности }=

, тогда из (9) получаем

, (9^/)

Далее

Из (9^/) также можно получить еще одно соотношение:

- равенство Парсеваля (условие замкнутости).

Теперь рассмотрим случай непрерывного спектра.

- у собственной функции индексом является собственное значение. Собственные значения непрерывны, они сплошь заполняют соответствующую числовую ось.

В этом случае собственные функции не нормируемы (квадратично не интегрируемы).

Используем искусственную операцию - введем понятие собственных дифференциалов, по определению:

,

т. е. на числовой оси рассмотрим функции с равным весом на интервале .

Собственные дифференциалы (12) квадратичноинтегрируемы. Через рассмотренные собственные дифференциалы приходим к рассмотрению собственных функций.

Условие ортонормируемости: .

Здесь уже дает расходящийся интеграл, т. е. равен .

Собственные функции обладают свойством полноты, т. е. они образуют базис по которому может быть разложена любая функция:

, (13)

По аналогии с дискретным спектром:

- равенство Парсеваля

Вопрос 12 Среднее значение измеряемой величины.

По определению (1)

Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора : (2)

По равенству Парсеваля

{в силу линейности оператора заносим его под знак суммы}

(3)

Подставляя (3) в числитель, а (2) в знаменатель для (1), тогда имеем

(4)

Из теории вероятности , где - вероятность получения , тогда

Вопрос 13 Вероятность результатов измерения

- вероятность того, что при измерении величины для системы, находящейся в состоянии мы получим результат .

Если система находится в состоянии , то величина при измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае .

Условие при котором собственная функция оператора описывает состояние системы: Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежат в интервале , определяется следующим значением:

или плотность вероятности

Вопрос 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин

Введем понятие коммутатора

Если мы имеем , то предполагается, что на некоторую функцию сначала действует , а потом на все действует .

Если , то операторы и коммутативны. Причем физические величины, соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Или говорят, что эти операторы имеют общий базис. То есть все собственные функции этих операторов можно выбрать общими.

Разложим по базису: .

Подействуем на коммутатором:

{Используем то, что образуют общий базис. }=

{Числа с оператором коммутируют (т. к. операторы эрмитовы)} =

То есть, если физические величины одновременно измеримые, то их коммутатор равен нулю.

Обратное:

Если коммутатор обращается в ноль, то физические величины одновременно измеримы.

Пусть собственная функция задачи Штурма-Лиувилля . Подставляем ее в коммутатор

Тогда получим . Мы рассматриваем невырожденный спектр. Это значит, что существует однозначное соответствие одно собственного значения и одной собственной функции. Разница между функциями и только до константы.

Пусть эта константа , тогда . Но , тогда .

Мы получили, что функция удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля для оператора .

Это можно было показать для любой собственной функции оператора .

Тогда из коммутативности операторов и следует общность базисов.

Величины и , которым соответствуют коммутирующие операторы могут быть одновременно измеримы и следовательно могут образовывать полный набор динамических переменных.

Полный набор динамических переменных полностью задает состояние системы. Но операторы и должны быть независимы.

Вопрос 9. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .

Будем использовать координатное представление (- представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки.

Действие сводится к умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора, но не задача Штурма-Лиувилля).

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен. Оператор энергии или Гамильтониан .

,

здесь - оператор кинетической энергии, - оператор потенциальной энергии.

Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Координата t - признак внешнего нестационарного поля.

Для одной материальной точки: . Тут присутствует и , но и одновременно не измеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измерены. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо , либо оказываются неизвестными.

Вопрос 16 Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механической системы.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале . Наложим на - условие ее сохранения во времени. - это физическое требование, поскольку , то также функция времени. На базе ограничения получим некоторые ограничения на Обозначим . Мы знаем, что , таким образом . Тогда само скалярное произведение - чисто мнимое число. Но - число вещественное. Отсюда можно представить

. (*)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.Подставим (*) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: . Свойства оператора :