Электрон-фононное взаимодействие / Квантовая теория м статфизика/основная часть.doc

1. Введение

Электрон-фононное взаимодействие (ЭФВ) в металлах является объектом интенсивного теоретического и экспе­риментального исследования. Интерес к этой проблеме связан с ролью электрон-фононного взаимодействия в описании таких фундаментальных физических явлений, как сверхпроводимость и процессы переноса в металлах. К настоящему времени существует последовательная многочастичная теория ЭФВ, описывающая как нор­мальное, так и сверхпро­водящее состояния металла. В рамках этого подхода все эффекты, связанные с ЭФВ, выражаются в конечном итоге через так называемые спектральные плотности ЭФВ. Одна из них, а именно функция Элиашберга, описывающая изменение одночастичных свойств электронов в нор­мальном состоянии и фононный вклад в сверхпроводи­мость, может быть определена экспериментально. Эта функция восстанавливается из экспериментальных дан­ных о зависимости туннельного тока между нормальным металлом и сверхпроводником от приложенного напря­жения. Функция Элиашберга может быть определена лишь в металлах, являющихся сверхпроводниками. Более того, ее определение существенно затруднено для анизотропных сверхпроводников и сверхпроводников с малой длиной когерентности.

Было бы желательно попытаться вычислить спект­ральные плотности ЭФВ в рамках последовательного микроскопического подхода. Такие попытки уже пред­принимались ранее и были во многих отноше­ниях весьма непоследовательны. Для расчета спектральных плотностей ЭФВ необходимо знать электронный и фононный спектры возбуждений, а также матричный элемент ЭФВ. Во многих предыдущих попытках микроскопиче­ских расчетов ЭФВ фононные спектры металлов не вычислялись из первых принципов. Вместо этого для их определения использовались различные феноменологи­ческие модели типа модели силовых постоянных Борна-Кармана. Матричные элементы ЭФВ также вычислялись с использованием различных упрощенных подходов типа модели жесткого ячеечного потенциала. Но, пожалуй, наиболее существенным вопросом, практиче­ски необсуждавшимся ранее, является вопрос о том, какой электронный спектр должен использоваться в этих расчетах.

В большинстве работ по вычислению ЭФВ в качестве электронного спектра использовался спектр, возникающий в рамках метода функционала плотности. Как известно, метод функционала плотности (МФП) в его стандартной форме предназначен для описания свойств основного состояния взаимодействую­щих систем. В этом плане возможность использования МФП для расчета фононных спектров не вызывает сомнения. Дело в том, что в рамках адиабатического приближения для расчета фононов необходимо вычи­слить энергию основного состояния электронной подси­стемы как функцию ионных координат. С этой целью в рамках МФП созданы достаточно мощные и эффектив­ные методы, основанные на использовании теории статического линейного отклика. Соответствующие рас­четы фононов проведены для большого числа металлов и демонстрируют хорошее согласие с эксперименталь­ными данными.

Иная ситуация существует для микроскопических расчетов электрон-фононного взаимодействия и обусло­вленных им эффектов таких, например, как электросо­противление и теплопроводность. Эти эффекты не явля­ются свойством основного состояния. Существуют два возможных пути микроскопического расчета таких явле­ний. Можно воспользоваться разработанным в послед­ние годы методом зависящего от времени функционала плотности. Формально система уравнений, описывающая поведение взаимодействующей системы электронов и ионов во внешнем поле, представляется достаточно просто. Фактически же до сих пор отсут­ствуют какие-либо точные, и даже модельные предста­вления для зависимости обменно-корреляционной энер­гии от плотности ионов. А именно эта величина и определяет электрон-фононное взаимодействие и его влияние на свойства электронной системы. Другой путь состоит в использовании так называемого ферми-жидкостного подхода к описанию эффектов электрон-фононного взаимодействия. Содержание этого обзора может быть представлено кратко следую­щим образом. Мы представим результаты многоча­стичного рассмотрения эффектов электрон-фононного взаимодействия в рамках гамильтониана Фрелиха, а также напишем о возможности прямого изучения локального электрон-фононного взаимодействия в полупроводниках. В заключение обсудим дальнейшие возможности разви­тия методов расчета ЭФВ.

2. Многочастичная теория электрон-фононного взаимодействия

Многочастичная теория ЭФВ изложена в большом количестве обзоров и книг, и мы не будем здесь останав­ливаться на ее подробном рассмотрении. Приведем лишь основные факты этой теории, а также формулы, которые будут использованы в дальнейших разделах этого обзора. Прежде всего, отметим, что в многочастич­ной теории для описания ЭВФ обычно используется так называемый гамильтониан Фрелиха

Здесь Н_е описывает квазистационарные состояния элект­ронов в жесткой решетке:

где H_e — энергия электронных квазичастиц, c⁺_k и c_k операторы рождения и уничтожения квазичастиц; гамильтониан невзаимодействующих фононов:

при этом _k — энергия фонона с поляризацией , a b⁺_q и b_q, — соответствующие фононные операторы; H_e-ph представляет собой гамильтониан электрон-фононного взаимодействия:

где g^q_k+q,k — матричный элемент ЭФВ. Позднее мы возвратимся к более подробному обсуждению возмож­ности использования гамильтониана Фрелиха для опи­сания ЭФВ и расчета входящих в него функций, таких как электронные и фононные энергии и матричный элемент ЭФВ.

В данный момент мы перейдем к изложению резуль­татов расчетов ЭФВ в рамках гамильтониана Фрелиха. Для соответствующих расчетов в многочастичной тео­рии ЭФВ используется обычно метод функций Грина. В задачи нашего обзора не входит изложение этого метода. Впервые расчеты ЭФВ с использованием функций Грина были проведены Мигдалом для нормального состояния металла и Элиашбергом для сверхпроводящего состояния. Наше рассмотрение мы начнем со случая температур Т = 0, поскольку при этом все соответствую­щие формулы выглядят гораздо проще и позволяют легко ввести определение необходимых для дальней­шего спектральных функций ЭФВ. Электронная функ­ция Грина G(k,) и фононная функция Грина D(q,,) могут быть записаны с помощью электронной (k, ) и фононной (q,,) собственно-энергетических частей в виде

Здесь G₀(k,) — функция Грина невзаимодействующих электронов, определяемая гамильтонианом H_e:

Функция D₀(q,,) определяется гамильтонианом H_ph и имеет вид

Забегая вперед, отметим, что в общем случае само­согласованное вычисление функций Грина электронов и фононов в рамках гамильтониана Фрелиха не может быть строго обосновано. Точная функция D(q,,) должна вычисляться в рамках полного электрон-ионного гамильтониана. Для целого ряда задач, однако, гамиль­тониан Фрелиха можно использовать и для самосогла­сованного вычисления обеих функций Грина, определив соответствующим образом, затравочные фононы в функ­ции D₀(q,,). В любом случае затухание фононов, определяемое мнимой частью собственной энергии фононов (q,,), дается правильно в рамках этого гамильтониана. В дальнейшем мы не будем в этом обзоре обсуждать расчеты фононной функции Грина, считая, что во всех формулах, описывающих электронные свойства, определяемые ЭФВ, нужно ис­пользовать точные функции Грина фононов.

Один из основных результатов работы Мигдала состоит в том, что электронная собственно-энергетиче­ская часть может быть вычислена с учетом простейших вкладов первого порядка по ЭФВ, а слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь, поскольку они малы в отношении _D/_F. Здесь _D — характерная фононная частота и _F — энергия Ферми. В аналитиче­ском виде выражение для (k, ) можно записать как

Для дальнейшего удобно воспользоваться спектраль­ным представлением фононной функции D(q,,):

В адиабатическом приближении и без учета взаимодей­ствия фононов друг с другом Im(D(q,,)) имеет вид

Удобно также представить суммирование по векторам k в виде

Используя введенные обозначения, можно переписать выражение для (k, ):

Можно убедиться исходя из формулы (2.13), что (k, ) по абсолютной величине ~_D. Из этого следует, как было показано Мигдалом, что электронная функция Грина в выражении (2.13) может быть заменена на функцию Грина невзаимодействующих электронов G₀(k,). В результате (2.13) приобретает вид

Из анализа выражения (2.14), проведенного Мигдалом, следует, что существенные значения величин  и ' порядка _D. Это означает, что и для величины  сущест­венны тоже малые значения ~_D. В этом случае в величине δ(-_k) можно пренебречь . После этого интеграл по  берется тривиально, и окончательно для (k, ) имеем

Вводя спектральную плотность ЭФВ _k²()F(), равную