Конспект по Квантовой механике / Лекции по квантовой механике/LEC2.DOC

§3. Равновесное тепловое излучение

Остановимся подробнее на понятии теплового равновесия. Для этого полезно обратиться к термодинамическому рассмотрению явлений внутри замкнутой полости. Рис.5

Пусть стенки этой полости полностью отражают падающий на них свет. Поместим в полость какое-либо тело, которое будет излучать световую энергию. Внутри полости возникнет электромагнитное поле и, в конце концов, ее заполнит излучение, находящееся в состоянии теплового равновесия с телом. Равновесие наступит и в том случае, когда каким-либо способом нацело устранится обмен теплом исследуемого тела с окружающей его средой (например, будем проводить этот мысленный опыт в вакууме, когда отсутствуют явления теплопроводности и конвекции). Лишь за счет процессов испускания и поглощения света обязательно наступит равновесие: излучающее тело будет иметь температуру, равную температуре электромагнитного излучения, изотропно заполняющего пространство внутри полости, а каждая выделенная часть поверхности тела будет излучать в единицу времени столько энергии, сколько она поглощает. При этом равновесие должно наступить независимо от свойств тела, помещенного внутрь замкнутой полости, влияющих, однако, на время установления равновесия. Плотность энергии электро­магнитного поля в полости, как будет показано ниже, в состоянии рав­новесия определяется только температурой.

Для характеристики равновесного теплового излучения важна не только объемная плотность энергии, но и распределение этой энергии по спектру. Поэтому будем характеризовать равновесное излучение, изотропно заполняющее пространство внутри полости, с помощью функции u_ω — спектральной плотности излучения, т. е. средней энергии единицы объема электромагнитного поля, распределенной в интервале частот от ω до ω + δω и отнесенной к величине этого интервала. Очевидно, что значение u_ω должно существенно зависеть от температуры, поэтому обозначим ее u(ω,T). Полная плотность энергии U(T) связана с u(ω,T) формулой

(10)

Строго говоря, понятие температуры применимо лишь для равновесного теплового излучения. В условиях равновесия температура должна оставаться постоянной. Однако часто понятие температуры также используют для характеристики раскаленных тел, не находящихся в равновесии с излучением. Более того, при медленном изменении параметров системы можно в каждый данный промежуток времени характеризовать ее температурой, которая будет медленно изменяться. Так, например, если отсутствует приток тепла и излучение обусловлено уменьшением энергии светящегося тела, то его температура также будет уменьшаться.

Установим связь между испускательной способностью абсолютно черного тела и спектральной плотностью равновесного излучения. Для этого подсчитаем поток энергии, падающий на единичную площадку, расположенную внутри замкнутой полости, заполненной электромагнитной энергией средней плотности U_ω. Пусть излучение падает на единичную площадку в направлении, определяемом углами θ и ϕ (рис. 6а) в пределах телесного угла dΩ:

(11)

Так как равновесное излучение изотропно, то в данном телесном угле распространяется доля, равная от всей энергии, заполняющей полость. Поток электромагнитной энергии, проходящей через единичную площадку в единицу времени,(рис. 6б)

(12)

Заменяя dΩ выражением (11) и интегрируя по ϕ в пределах (0, 2π) и по θ в пределах (0, π/2), получим полный поток энергии, падающий на единичную площадку:

(13)

Очевидно, что в условиях равновесия надо приравнять выра­жение (13) испускательной способности абсолютно черного тела r_ω, характеризующей поток энергии, излучаемый площадкой, в единичном интервале частот вблизи ω:

(14)

Таким образом, показано, что испускательная способность аб­солютно черного тела с точностью до множителя с/4 совпадает со спек­тральной плотностью равновесного излучения. Равенство (14) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения, следовательно отсюда вытекает, что

f(ω,T)= u(ω,T) (15)

В заключение укажем, что излу­чение абсолютного черного тела (на­пример, свет, испускаемый малым отверстием в полости) уже не будет равновесным. В частности, это излу­чение не изотропно, так как оно рас­пространяется не по всем направле­ниям. Но распределение энергии по спектру для такого излучения будет совпадать со спектральной плотностью равновесного излучения, изотропно заполняющего пространство внутри полости. Это и позволяет пользовать­ся соотношением (14), справедливым при любой температуре. Никакой другой источник света не имеет сходного распределения энергии по спектру. Так, например, элек­трический разряд в газах или свечение под действием химических реакций имеет спектры, существенно отличные от свечения абсолютно черного тела. Распределение энергии по спектру раскаленных тел также заметно отличается от свечения абсолютно черного тела, что было выше проиллюстрировано (см. рис. 4, §2) сравнением спектров распространенного источника света (лампы накаливания с вольфра­мовой нитью) и абсолютно черного тела.

§ 4. ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Указанные выше характерные особенности зависимости испуска­тельной способности абсолютно черного тела от длины волны и тем­пературы были обобщены в двух законах, наименование которых свя­зано с фамилиями ученых, экспериментально и теоретически и исследовавших эти явления.

Закон Стефана — Больцмана. Интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой сте­пени его температуры:

(16)

В этом равенстве постоянная величина σ определена из данных опы­та. Она равна 5,7•10^-8Вт/(м²-К⁴). Следует отметить, что закон Стефана — Больцмана неприменим к телам, которые не являются аб­солютно черными. Для таких тел значение σ с ростом температуры не будет оставаться постоянным, и трудно аппроксимировать экспе­риментальные кривые указанной зависимостью T⁴. Заметим, что энер­гетическая светимость нечерных тел всегда меньше энергетической све­тимости абсолютного черного тела при данной температуре.

Закон смещения Вина. Произведение длины волны соот­ветствующей максимуму излучения, и температуры абсолютно чер­ного тела остается постоянным при изменении его температуры:

(17)

Постоянная величина b = 0,2886 см • К , определена из опытных дан­ных.

Согласно закону (16), значение будет уменьшаться с ростом температуры. Следовательно, должно иметь место смещение макси­мума кривой в сторону коротких длин волн. Эту особенность аб­солютно черного тела иллюстрирует рис. 7, на котором изображены спектральные зависимости для двух значений температуры черного тела, отличающихся в два раза. Заметим, что кривые на этом рисунке построены для температур 3000 К (/) и 6000 К (II), примерно соответ­ствующих температуре нити мощной лампы накаливания (/) и Солнца (//). При повышении в два раза температуры излучателя максимум излучения переместился из инфракрасной области в оптимальную для визуального наблюдения зеленую часть видимого спектра , где, как известно, чувствительность глаза наибольшая. Площадь кри­вой, характеризующая интегральную энергетическую светимость, при повышении в два раза температуры возросла в 16 раз.

Закон смещения (так же как закон Стефана — Больцмана) применим лишь к абсолютно черным телам. Однако для некоторых нечерных тел отклонение максимума кривой от измеренного при этой же температуре черного тела, оказывается относительно небольшим. Этим обстоятельством пользуются для измерения температуры некоторых нечерных тел.

§ 5. ЗАКОН РЭЛЕЯ-ДЖИНСА

5.1.Подход Рэлея к изучению теплового излучения. При рассмотрении теплового равновесия тела с излучением, подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. Рэлей в отличие от своих предшественников впервые применил методы статистической физики к явлениям тепло­вого излучения. Равновесное электромагнитное излучение, находя­щееся в замкнутой полости с постоянной температурой стенок, рас­сматривалось им как система стоячих волн разных частот, распро­страняющихся во всевозможных направлениях. Частоты образо­вавшихся стоячих волн должны удовлетворять тем же условиям, что и частоты стоячих упругих волн в стержне. При колебаниях упругого стержня на его закрепленных концах образуются узлы смещения и на длине стержня L укладывается целое число полуволн:

L= m(λ/2) (18)

Так как λ = v/ν, то из (18) для набора собственных частот полу­чаем

ν=m(v/2L) (19)

где v — скорость распространения волны.

По Рэлею, число собственных частот, укладывающихся в интер­вале (ν, ν+dν), пропорционально объему полости V, квадрату частоты и ширине интервала, т. е. dN ~ Vν²dν. Пользуясь законом равномерного распределения энергии равновесной системы по сте­пеням свободы и учитывая, что на каждую колебательную степень свободы в классической физике приходится энергия, равная kT (1/2·kT на кинетическую, 1/2·kT на потенциальную), Рэлей получил следующее выражение для излучательной способности абсолютно черного тела:

где k — постоянная Больцмана.

5.2. Формула Рэлея—Джинса. Используя идею Рэлея, Джинc провел точные вычисления и, определив коэффициенты пропорциональности, нашел, что

(20)

Согласно формуле (15) §4 , отсюда получим

(21)

(20) и (21) получили название -формулы Рэлея-Джинса.

Надо заметить, что формулы Рэлея-Джинса легко получить по закону равнораспределе­ния кинетической энергии по степеням свободы, являющемуся одним из фундаментальных соотношений классической физики, на каждую степень свободы исследуемой системы приходится kT/2. Осциллятор имеет кинетическую и потенциальную энергию и можно считать

(22)

Следовательно, его средняя энергия <E> = kT, где k— постоян­ная Больцмана (k = 1,38·10^-16 эрг/К), а Т — температура внутри полости.

Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просум­мировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии Е её произведение на относительную вероятность () того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энер­гии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получаю­щемуся при суммировании относительной вероятности по всем значе­ниям непрерывно изменяющегося значения Е:

(23)

В результате вычисления интегралов в (23) легко получается, что <E> = kT.

5.3. «Ультрафиолетовая катастрофа». Как показал опыт, формула Рэлея-Джинса согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур (см.рис.8). Кроме того, оказалось что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду (образно названному П. Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой»). В самом деле,

(24)

Равенство полновесной плотности энергии ∞ означает, что равновесие между телом и его излучением устанавливается только при температуре тел, равной абсолютному нулю. Это противоречит опытным данным, так как тела находятся в равновесии с излучением при произвольной, отличной от нуля температуре.

Эти расхождения теории эксперимента, явились серьезным предостережением, далеко выходящим за рамки задачи о построении универсальной функции

Смысл общего вывода заключается в том, что вся классическая физика имеет определенные границы применимости и использование ее законов и методов вне этих границ приводит к противоречию с опытом, яв­ляющимся основным критерием правильности той или иной теории.

Что касается конкретной задачи о согласовании теории равновес­ного теплового излучения и эксперимента, то тут создалась ситуация, которая хорошо характеризуется образным высказыванием знаме­нитого физика Лоренца: «Уравне­ния классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн…»

§6. ФОРМУЛА ПЛАНКА

Многочисленные попытки найти выход из этого тупика не приводили к успеху вплоть до начала XX в., когда М. Планк сформулировал гипотезу дискретных квантов энергии, последовательное развитие которой многими физиками (в первую очередь А. Эйнштейном и Н. Бором) в дальнейшем привело к определению границ примени­мости классической теории и соз­данию новой квантовой физики, громадное значение которой для развития всех естественных наук общеизвестно.

Гипотеза, выдвинутая Планком, заключалась в том, что энергия осциллятора не может принимать произвольные значения, а должна быть кратной некоторой вполне определенной величине E₀, именуе­мой квантом энергии. Другими словами, энергия E должна быть равной nE₀, где n—обязательно целое число (n = 1,2,3,...). Это зна­чит, что излучаемая и поглощаемая осциллятором энергия также может принимать лишь вполне определенные (квантованные) значения, т. е. излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а определенными порциями — квантами.

(25)

Приняв эту гипотезу, уже нельзя исходить из равнораспределения энергии по степеням свободы и вычислять среднее значение энергии осциллятора указанным выше способом с использованием соотношения вида (23). Учитывая дискретное изменение E, нужно заменить интегралы в этом выражении бесконечными рядами и для определения <E>

найти отношение сумм этих двух рядов:

(26)

(что легко проделать, см. И.В. Савельев, т.3, § 7).

Вычисление средней энергии осциллятора легко провести, заметив, что каждый член геометрической прогрессии в числителе выражения (26) с точностью до знака равен производной по ξ = 1/(kT) от со­ответствующего члена прогрессии, находящейся в знаменателе этого соотношения:

(27)

(Итак, воспользовавшись )

Получили ; подставив в (20) <E> = kT, получим

; (28)

Учтя, что согласно (25) , получим

(29)

и из связи универсальной функции Кирхгофа и равновесной плотности теплового излучения , получим

(30)

Формулы (29) и (30) называются формулами Планка. Проанализируем эти фундаментальные соотношения. Очевидно, что при можно разложить экспоненциальную функцию в ряд:

Тогда, ограничиваясь в этом разложении вторым членом, получим формулу Рэлея — Джинса :

Значит, при малых частотах (точнее, при выполнении условия )квантовая формула Планка переходит в классическую фор­мулу Рэлея — Джинса. Следовательно, условия малости кванта энер­гии hv по сравнению с величиной kT определяет границы применимости классической теории. Если нельзя считать , то использование формулы Рэлея — Джинса незаконно и для описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.

Переходя от частот к длинам волн, запишем формулу Планка в виде, который удобно сравнивать с данными опыта:

(31)

Продифференцировав (31) по λ и приравняв выражение к 0, можно получить значение постоянной Вина b, совпадающее с экспериментальным значением (см. формулу §4 (17), подробно см. И.В. Савельев, т.3, § 7, стр.30). Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.